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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Montpellier}
\lfoot{\small juin 1979}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Montpellier juin 1979 \decofourright}}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit les deux fonctions polynômes $f$ et $g$
\[\begin{array}{l l c l}
f :&\R&\to &\R\\
&x &\mapsto&(x - 1)^2 - (x - 2)(x - 3) + 5,
\end{array} \qquad 
\begin{array}{l l c l}
g :&\R&\to &\R\\
&x &\mapsto&(x - 10)(x + 9) - (2x - 20) - x^2 + 100.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
		\item Écrire $g(x)$ sous forme d'un produit de facteurs.
		
[On doit obtenir $f(x) = 3x$ et $g(x) = 3(10 - x).$]
	\end{enumerate}
\item Soit $k(x)$ la valeur de la fonction rationnelle
définie par
\[k(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner l'ensemble de définition de $k$.
		\item Trouver $k_1(x)$ l'expression simplifiée de $k(x)$. 
		\item Résoudre les équations suivantes :
\[k_1(x) = 1,\qquad  k_1(x) = 3.\]
		\item Calculer $k_1\left(\dfrac{1 + \sqrt 5}{2}\right)$.
		
On rendra le dénominateur rationnel et on en donnera une valeur approchée
en prenant pour $\sqrt 5$ la valeur approchée $2,2$.
	\end{enumerate}
\item Une figure géométrique est constituée par la juxtaposition de deux rectangles MNPQ et NRSP (voir figure) tels que

\begin{center}MN $= x$, MQ $= 3$, MR $= 10$\end{center}

(l'unité est le centimètre).

On appelle $A(x)$ l'aire de MNPQ et $B(x)$ l'aire de NRSP.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.6,3.2)
%\psgrid
\psframe(0.4,0.7)(6.9,2.7)
\psline(2,0.7)(2,2.7)
\uput[ul](0.4,2.7){M} \uput[u](2,2.7){N} \uput[ur](6.9,2.7){R} \uput[dr](6.9,0.7){S} 
\uput[d](2,0.7){P} \uput[dl](0.4,0.7){Q} \rput(1.2,1.7){$A(x)$} \rput(4.45,1.7){$B(x)$}
\uput[u](1.2,2.7){$x$} \uput[d](3.65,0.6){10}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.4,2.8)(2,2.8)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.3,0.7)(0.3,2.7)\uput[l](0.3,1.7){3}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.4,0.6)(6.9,0.6)
\rput(6,0){éch. : 2/3}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $A(x),\: B(x)$ et $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ et les comparer a
$f(x),\: g(x)$ et $k(x)$.
		\item Déterminer $x$ pour que
\begin{center} $A(x) = B(x)$ \quad puis \quad $\dfrac{A(x)}{B(x)} = 3$.\end{center}

Dessiner les figures correspondantes.

		\item Calculer $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ pour $x  = \dfrac{1 + \sqrt 5}{2}$.
		
Dessiner la figure correspondante.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{\large GÉOMÉTRIE}
\end{center}

\emph{L'unité de longueur est le centimètre.}

La distance de deux points A et B est notée AB. 

$(\Delta)$ et $(\Delta')$ sont deux droites perpendiculaires se
coupant en I. 

A et B appartiennent respectivement à $(\Delta)$ et à $(\Delta')$ et vérifient
\begin{center}IA $= 1$, \qquad  IB $= 2$.\end{center}

On considère les points C et D définis par 

\[\vect{\text{IC}} = -4\vect{\text{IA}},\qquad  \vect{\text{ID}} = -4\vect{\text{IB}}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature des triangles (A, B, C) et (B, C, D) ?
\item Situer le point O, centre du cercle $\Gamma$, circonscrit au triangle (B, C, D).
\item Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Démontrer qu'il existe un réel $k$ tel que $\vect{\text{CD}} =k \vect{\text{AB}}$ ; le calculer. \
\item E est le symétrique de C par rapport à O.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadrilatère (C, B, E, D) ?
		
En déduire que E est un point du cercle $\Gamma$.
		\item Montrer que A, E et B sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}