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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Montpellier}
\lfoot{\small juin 1980}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Montpellier juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver le nombre positif dont le carré est $22,09$.

En déduire la factorisation de
\[f(x) = x^2 - 22,09.\]
\item Trouver par le calcul les coordonnées du point d'intersection des droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ d'équations respectives :
\begin{center}$x+y-4,7= 0$\qquad  et \qquad $x - y - 2,3 = 0$.\end{center}

dans un repère orthonormé du plan euclidien. Faire une représentation graphique sur papier millimétrique.
\item Démontrer que $(x +y)^2 = (x - y)^2 + 4xy$ pour
toute valeur de $x$ et de $y$.
\item Un rectangle a pour aire $4,2$ m$^2$ et sa longueur $x$
surpasse sa largeur $y$ de 2,3 m.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la différence $x - y$.
		
Calculer, en utilisant l'égalité de la question \textbf{3.}, le demi-périmètre de ce rectangle.
		\item Calculer les dimensions de ce rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

$\mathcal{C}$ est le cercle de centre O et de rayon 4. 

A et B sont deux points diamétralement opposés sur $\mathcal{C}$. 

D est l'un des deux points de $\mathcal{C}$ tels que BD $= 2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire D.
\item Soit E le symétrique de B dans la symétrie centrale de centre D. 

Démontrer que (AD) est la médiatrice de [EB].
\item Soit O$'$ le symétrique de O par rapport à (AD). 

Démontrer que A, O$'$ et E sont alignés.
\item Déterminer la nature du quadrilatère (A, O, D, O$'$).

Démontrer que O$'$ est le milieu de [AE].
\item Soit H la projection orthogonale de D sur (AB). 

Calculer BH, HA et DH.
\item I étant le milieu de [AD], montrer que $\overline{\text{AI}} \cdot \overline{\text{AD}} = \overline{\text{AO}}  \cdot \overline{\text{AH}}$ et que les quatre points I, D, H et O sont sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
\item Déterminer à $0,5\degres$ près par défaut l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{DAB}}$.
\end{enumerate}
\end{document}