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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Nice--Montpellier--Corse--Toulouse}
\lfoot{\small juin 1991}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nice\footnote{Corse--Montpellier--Toulouse} juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte et donner le résultat sous forme de nombre décimal ou de fraction irréductible :

\[A = 17 - 15 \times \dfrac{3}{20} ; \quad 
B = 35 \cdot 10^{-3} - 5\cdot 10^3 ; \quad  C = \left(\dfrac57 - \dfrac32\right) : \left(\dfrac37 + \dfrac{1}{49}\right)\]

\item Développer et écrire le plus simplement possible : 

\[D = \left(4 + 5\sqrt 2\right)^2 + \left(2\sqrt 2 - 3\right)\left(3\sqrt 2 + 7\right)\]

\item Factoriser les expressions suivantes:

\[\begin{array}{l c l}
E&=&x^2- 8x + 16\\
F&=& (5x + 8)^2 - 25
\end{array}\]

\item Résoudre les équations suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item $x^2 = 7$
		\item $(3x - 6) (2x + 1) = 0$.
	\end{enumerate}	
\item Au premier trimestre, Romain a fait 4 devoirs en mathématiques.

Aux trois derniers devoirs, il a obtenu les notes suivantes: 12 ;\: 8 ;\: 11.

Il ne se souvient plus de sa première note. Ce dont il est sûr, par contre, c'est que sa moyenne du premier trimestre est une note supérieure ou égale à 10 mais strictement inférieure à 11. 

Sachant que le professeur ne met que des notes entières, pouvez-vous indiquer à Romain les notes possibles pour ce premier devoir?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère un cône de sommet S et dont le disque de
base a pour centre O.

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-3.9,-1.1)(3.9,8)
\psellipticarc(0,0)(3.9,1.1){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(3.9,1.1){0}{180}
\psline(-3.9,0)(0,7.6)(3.9,0)
\psline[linestyle=dashed](0,7.6)(0,0)(-2.4,-0.88)
\psline(-2.4,-0.88)(0,7.6)
\uput[r](0,0){O} \uput[dl](-2.4,-0.88){A} \uput[u](0,7.6){S}
\psline(0,0.2)(-0.2,0.13)(-0.2,-0.12)
\end{pspicture}
\end{center}

La hauteur [SO] du cône mesure $8$~cm et l'arête latérale [SA] a une longueur égale à $10$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le rayon OA.
\item Calculer $\sin \widehat{\text{OAS}}$.

En déduire $\widehat{\text{OAS}}$ à un degré près par défaut.
\item Calculer le volume du cône (arrondir à l'unité).
\item On a réalisé une maquette de ce cône à l'échelle $\dfrac15$.

 Déduire du résultat précédent le volume du nouveau cône ainsi obtenu
(arrondir à l'unité).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Construire un carré ABCD de côté $5$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BD (on exprimera le résultat sous la forme $a\sqrt b$ avec $a$ et $b$ entiers positifs).
\item Placer le point I de [BD] tel que BI $= 2,8$~cm. 

Placer le point J de [BC] tel que JC $= 3$~cm.

La droite (IJ) est-elle parallèle à la droite (DC) ?
\item Placer le point S de [BC] tel que BS $= 4$~cm.

La droite passant par S et parallèle à (CD) coupe (BD) en T. 

Placer le point T. Calculer BT et ST.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). Unité : le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A(3~;~0) B(- 1~;~8).
\item Chercher l'équation de la droite (AB).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire la droite $\Delta$ d'équation $y = \dfrac 12 x + \dfrac72$.
		\item Montrer que le point C$(- 5~;~1)$ est sur la droite $\Delta$ et le
placer.
	\end{enumerate}
\item Résoudre le système : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
y &=&- 2x + 6\\
y &=&\phantom{-}\dfrac 12 x + \dfrac72
\end{array}\right.\]

Expliquer comment on retrouve graphiquement ce résultat.
\item Soit M le point d'intersection de (AB) et $\Delta$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les coordonnées du point M ?
		\item Montrer que M est le milieu du segment [AB].
		\item Montrer que les droites $\Delta$ et (AB) sont perpendiculaires 
		\item Que peut-on en déduire pour la droite $\Delta$ ?
	\end{enumerate}	
\item Construire les points suivants et lire leurs coordonnées le graphique :
	\begin{enumerate}
		\item Le symétrique F de C par rapport à B.
		\item Le symétrique G de C par rapport à la droite (AB).
		\item L'image H de B par la translation de vecteur $\vect{\text{CM}}$.
		\item Le point K défini par $\vect{\text{CR}} = \vect{\text{CM}} + \vect{\text{CA}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}