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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Montpellier}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Montpellier juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier l'identité 
\[(x + y)^2 - (x - y)^2 = 4xy.\]

\item Un rectangle a une aire de $972$~m$^2$ et sa longueur, $x$, surpasse sa largeur, $y$, de $9$~mètres.

En utilisant l'identité précédente, calculer le demi-périmètre $p$ du rectangle.
\item Déterminer les dimensions $x$ et $y$ de ce rectangle
et la longueur de ses diagonales.
\item En donnant à $p$ la valeur trouvée, représenter sur un même graphique les fonctions 
\begin{center}$y = x - 9$\qquad  et \qquad $y = p - x$.\end{center} 

À l'aide de ce graphique, retrouver les réponses précédemment données.

(On prendra un millimètre pour représenter un mètre.)
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{minipage}{0.72\linewidth}
Soit une droite OY perpendiculaire en O à une droite (X$'$X).

Sur OX et sur OY, on prend respectivement deux points A et B tels que OA $=$ OB.

Du point A, on trace une droite qui coupe le segment [OB] en H.

La perpendiculaire menée de B à (AH) coupe (AH) en P et (X$'$X) en D.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.24\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(2.4,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1,-0.5)(2,2.5)
\psline(1.8,-0.1)(1.8,0.1)\psline(-0.1,1.8,)(0.1,1.8)
\uput[d](-0.6,0){X$'$} \uput[dr](0,0){O} \uput[l](0,2.4){Y}
\uput[l](0,1.8){B} \uput[d](1.8,0){A} \uput[d](2.3,0){X}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer l'égalité des triangles AOH et BOD et l'égalité
des longueurs des deux segments [OB] et [OD].
\item Démontrer que les quatre points D, O, H et P sont ur une même cercle et que le centre de ce cercle  est sur la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{X}'\text{OY}}$.
\item Démontrer que [PO) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{DPH}}$.
\item Lorsque le point H varie sur [OB], démontrer que la droite (HD) reste parallèle à une direction fixe.
\end{enumerate}
\end{document}