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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Montpellier}}
\rfoot{\small{juin 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Montpellier juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip



\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit A et B les points où la droite représentatrice de la fonction 
\[2x + 3y = 12\]
coupe respectivement les axes de coordonnées O$x$ et O$y$.

Tracer le segment [AB] ; justifier la construction.
\item Soit M un point quelconque du segment [AB], P et Q ses projections sur O$x$ et O$y$.

Calculer, en fonction de l'abscisse $x$ de M, le périmètre du rectangle OQMP{}.
\item Entre quelles limites (en cm) doit-on choisir le périmètre du rectangle pour que M soit entre A et B ?
\item Déterminer M de manière que la différence des dimensions du rectangle OQMP soit 1~cm.

Porter M sur le  graphique (unité : 1~cm).
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un cercle $\mathcal{C}$, de centre O,  de diamètre[AB]tel que  AB $= 2R$ et un point P sur le prolongement de [AB].

Une sécante issue de P coupe le cercle $\mathcal{C}$ en deux points M et N tels que M soit le milieu de [PN].

\medskip

\begin{enumerate}
\item C étant le milieu de [OP]. calculer la longueur CM et en déduire un moyen de construire la sécante (PN) de façon qu'elle soit coupée par le cercle $\mathcal{C}$ en son milieu.

À quelles conditions, cette construction est-elle possible ?
\item Soit N$'$ le point diamétralement opposé à N.

Montrer que le triangle PNN$'$ est isocèle et en déduire un second moyen de construire la sécante (PMN).
\item On suppose maintenant que OP $= 2R$.

Calculer en fonction de $R$ l'aire du triangle PNN$'$.
\end{enumerate}
\end{document}