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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Montpellier}}
\rfoot{\small{juin 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{ \textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Montpellier juin 1959}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Les diagonales [AC] et [BD] d'un losange ABCD mesurent respectivement $16$~cm et $12$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item M étant un point quelconque du segment [AD], on pose AM $= x$.

Entre quelles valeurs varie $x$ quand M parcourt [AD] ?
\item On trace, par M, la parallèle à (DB), qui coupe (AB) en P{}, et la parallèle à (AC), qui coupe (DC) en Q.

Exprimer, en fonction de $x$ les longueurs de MP, de MQ, puis la somme MP + MQ.
\item Représenter graphiquement, en utilisant les mêmes axes de coordonnées, les variations de MP, de MQ et de MP + MQ quand M parcourt [AD].
\item Déterminer une valeur de $x$ telle que l'on ait MP = MQ.

Peut-on le faire en utilisant le graphique construit dans la question 3. ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Deux cercles de centres O et O$'$, de même rayon, $5$ cm, sont telles que le centre de l'une d'elles se trouve sur l'autre et qu'elles se coupent aux points A et B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur de l'arc $\widearc{\text{AOB}}$ et la longueur de la corde commune [AB].
\item P étant le second point où la droite (OO$'$) coupe le cercle de centre O, démontrer que la droite (PA) est tangente au cercle de centre O$'$.
\item Soient M un point quelconque de l'arc $\widearc{\text{AOB}}$ et R et S les points où les droites (BM) et (AM) coupent respectivement les côtés [PA] et [PB] du triangle PAB.

Comparer, d'une part, les triangles ABR et PAS et, d'autre part, les segments [AR] et [PS].
\end{enumerate}
\end{document}