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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Montpellier juin 1965~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

Soit les expressions algébriques suivantes : 
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&(3x - 2)^2 - (3x - 2)(5x - 3)\:\text{ et}\\
B(x)&=&(5x + 1)^2 - (2x + 3)^2.
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $A(x)$ et $B(x)$ sous forme de produits de deux facteurs du premier degré.
\item Résoudre les équations $A(x) = 0$ et $B(x) = 0$.
\item Simplifier la fraction $F(x) =  - \dfrac{A(x)}{B(x)}$ (on appellera $F'(x)$ la
fraction obtenue après simplification).

Calculer la valeur numérique de $F'(x)$ pour chacune des
valeurs de $x$ trouvées au 2.
\item Tracer sur un même graphique les droites représentatives des fonctions

\begin{center}$y = 7x + 4$\qquad et\qquad  $y = 2x - 1$.\end{center}

Calculer l'abscisse de leur point commun, A.

Montrer, sans calcul, que, pour cette valeur de $x$,  $F(x)$ est égale à 1.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Sur un demi-cercle de diamètre [BC] avec BC$ = 2R$ on marque un point A et, de A, on abaisse la perpendiculaire [AH] sur (BC) (H sur (BC)).

On mène, de B et C, les tangentes (BD) et (CE) au cercle de centre A et de rayon AH.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les points D, A, E sont alignés.

Quelle est la nature du quadrilatère BDEC ?

Montrer que le cercle de diamètre [BC] est tangent en A à (DE).
\item Montrer que les triangles DAB et ECA sont semblables et que

\begin{center}BD $\times $ CE = AH$^2$.\end{center}

\item Dans le cas où $\widehat{\text{CBA}} = 30\degres$, calculer en fonction de $R$ les longueurs des segments [AB], [AC], [AH], [HC], [HB] et en déduire la longueur des côtés du quadrilatère BDEC dans le cas où $R = 3$~cm.
\item $R$ étant toujours égal à $3$~cm, calculer la puissance, par rapport au cercle de centre A et de rayon AH, des points A, B, C et H.
\end{enumerate}
\end{document}