\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Montpellier juin 1973},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Montpellier}}
\rfoot{\small{juin 1973}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Montpellier juin 1973
~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Algèbre}

\medskip

On considère les fonctions polynômes $f$ et $g$, de $\R$
vers $\R$, définies par
\begin{center}$f(x) = 9x^2 - 1$\quad et \quad $g(x) = 9x^2 + 6x + 1$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les images par $f$ et par fgf des réels $- 1$ $\sqrt 2$.
\item Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.

Résoudre, dans $\R$, les équations
\begin{center}$f(x) = 0$\quad  et\quad  $g(x) = 0$.\end{center}
\item Déterminer la fonction polynôme $p$, puis la fonction rationnelle $q$ telles que l'on ait
\[p(x) = g(x) - f(x) \quad \text{et}\]
\[ q(x) = \dfrac{2g(x)}{p(x)}.\]

Trouver l'ensemble de définition de $q$.

Simplifier $q(x)$ dans cel ensemble de définition.

\item On considère la fonction affine $q'$ définie dans I'intervalle $I = [- 2~;~+ 2]$ par 
\[q'(x) = 3x + 1.\]

Représenter graphiquement $q'$ dans un repère orthonormé \Oij.
\item En déduire, dans ce même repère la représentation graphique de la fonction $h$ définie sur $I$ par
\[h(x) = |3x + 1|.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B et C de coordonnées respective
\begin{center}A(1~;~2),\quad B(- 1~;~6) \quad et \quad C$(x~;~5) \quad (x \in \R$).\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $d$(A, B), puis, en fonction de $x$,\: $d$(A, C)
et $d$(B, C).
\item Déterminer $x$ pour que le triangle (A, B, C) soit
rectangle en A.

Calculer alors en degrés, avec la précision permise
par les tables trigonométriques, l'écart angulaire de deux demi-droites [BA) et [BC).
\item On prend $x = 7$ pour la suite du problème.

Calculer les coordonnées du point, I, milieu de (B, C).
\item  Soit E le point symétrique du point A par rapport au point I.

Quelles sont les coordonnées de E ?
\item Quelle est la nature du quadrilatère (A, B, E, C) ?
\end{enumerate}
\end{document}