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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Montpellier juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère les deux applications $f$ et $g$ de $\R$ vers $\R$ déterminées par
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(x - 1)^2,\\
g(x)&=& 4(x - 1)(2x - 5).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ et $g$ sont des fonctions polynômes de degré 2.
\item Soit $k(x) = f(x) - g(x)$.

Factoriser $k(x)$.

[On trouvera $k(x)=(x - 1)(- 7x + 19)$.
\item Calculer $k(0),\: k\left(\dfrac{19}{7}\right)$ et $k\left(\dfrac{1}{\sqrt 5}\right)$.

Donner la valeur approchée par défaut à $10^{- 1}$ près de $k\left(\dfrac{1}{\sqrt 5}\right)$.
\item Simplifier la fonction rationnelle définie par
\[P(x) = \dfrac{k(x)}{14x^2 - 38x}.\]

\item Tracer, dans un plan muni du repère cartésien \Oij, les représentations graphiques des fonctions $f_1$ et $f_2$ de $\R$ vers $\R$ déterminées par

\begin{center}$f_1(x) = 1 - x$\quad et \quad  $f_2(x) = 2x$.\end{center}
\item Trouver graphiquement la solution de l'équation 
\[P(x) = 1.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit \Oij{} un repère orthonormé du plan.

On considère les points
\begin{center}B$\left(0~;~\dfrac52 \right)$,\quad C(5~;~0)\quad  et \quad H(1~;~2).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{BCO}}$.
\item Calculer BH, HC et BC.

Montrer que H appartient au segment [BC].
\item Démontrer que H est la projection orthogonale de O sur la droite (BC).
\item M et N sont les symétriques de H par rapport aux droites (OB) et (OC).

Démontrer que O est le milieu de [MN].
\item Calculer, en fonction de $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$ les vecteurs $\vect{\text{MB}},\:
\vect{\text{NC}}$ et $\vect{\text{OA}}$ (A étant le milieu du segment [BC]).

En déduire que les droites (MB), (OA) et (NC) sont perpendiculaires à la droite (MN).
\item Démontrer que le cercle de diamètre [BC] est tangent à la droite (MN).
\end{enumerate}
\end{document}