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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Montpellier juin 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

\smallskip

$f$ et $g$ sont les deux applications de $\R$ vers $\R$ déterminées par:
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=& x + 1\\
g(x)& =& 4x^2
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0),\: f\left(\dfrac13\right),\: g(-1),\: g\left(1 + \sqrt 2\right)$.
\item $h$h est l'application de $\R$ vers $\R$ déterminée par: 
\[h(x)=(- x + 1)^2 - 4x^2.\]
	\begin{enumerate}
		\item Réduire et ordonner $h(x)$.
		\item Écrire $h(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré (on trouvera 
\[h(x)=(3x + 1)(x + 1)).\]
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $h(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item  $k$ est la fonction rationnelle de $\R$ vers $\R$ déterminée par:
\[k(x) = \dfrac{h(x)}{2x - 2)(3x + 1)}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $k$ ?
		\item Simplifier $k(x)$.
		\item Résoudre dans $\mathcal{D}$ l'équation $k(x) = 1$.
	\end{enumerate}
\item  Dans un plan muni d'un repère \Oij{} tracer les représentations graphiques des applications $\ell$ et $m$ de $\R$ vers $\R$ déterminées par
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\ell(x) &=&x+1\:\text{et}\\
m(x) &=&|2x - 2|
\end{array}\right.\]

Calculer les coordonnées de leurs points communs.

\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

\smallskip

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B, C tels que :
\begin{center}$\vect{\text{OA}} = \vect{\imath} + 3\vect{\jmath}$, \qquad $\vect{\text{OB}} = - \vect{\imath} + \vect{\jmath}$, \qquad $\vect{\text{OC}} = 5\vect{\imath} - \vect{\jmath}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Placer les trois points A, B, C.
\item Quelles sont les coordonnées (ou composantes) des vecteurs $\vect{\text{AB}}, \:\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{BC}}$.

Démontrer que le triangle (A, B, C) est rectangle en A.
\item Ecrire une équation de la droite $D$ contenant C et parallèle à la droite (AB).
\item Montrer que le symétrique A$'$ du point A dans la symétrie de centre M(2~;~0) est un élément de la droite d'équation $y = x - 6$.
\item Démontrer que (A, C, A$'$, B) est un rectangle.
\item Soit $a$ l'écart angulaire en degrés de l'angle géométrique $\widehat{\text{ABC}}$.

Calculer la tangente de $a$.

En déduire la valeur approchée par défaut de $a$ à une unité près.
\end{enumerate}
\end{document}