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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Montpellier}
\lfoot{\small juin 1976}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Montpellier juin 1976 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ telle que 
\[f(x) = 5(x - 1)^2 + (10x - 15)(x - 1).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Écrire $f(x)$ sous forme d'un produit de facteurs.
\item Soit la fonction rationnelle $h$ telle que 
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{9(x - 2)(3 x - 4)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est son ensemble de définition ?
		\item Simplifier $h(x)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation
\[\dfrac{5(x - 1)}{9(x - 2)} = 1.\]
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation
\[\dfrac{5(x - 1)}{9(x - 2)} = 2.\]
Donner un encadrement de la solution par deux quotients
$\dfrac a4$ et  $\dfrac{a+1}{4}$ où $a$ est un entier naturel que l'on déterminera.
	\end{enumerate}
\item Dans un atelier d'usine, deux machines-outils de fonctionnement différent fabriquent des pièces de même  type.

La machine A produit cinq pièces à l'heure, la machine B produit neuf pièces à l'heure.

On fait fonctionner ces deux machines pendant
$x$ heures. Ce temps de fonctionnement comprend un  temps de réglage et un temps de production.

Le temps de réglage est de une heure pour la machine A et de deux heures pour la machine B.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le temps de production pour chacune des deux machines ? 
		
(On suppose $x > 2$.)
		\item Soit $y_1$ le nombre de pièces fabriquées par la machine A et $y_2$ le nombre de pièces fabriquées par la machine B.

Calculer $y_1$ et $y_2$ en fonction de $x$.
		\item À partir des résultats de la quatrième question 
trouver le temps de fonctionnement pour que $y_1 = y_2$.

De même, trouver le temps de fonctionnement à un quart d'heure près par excès pour que $y_1 = 2y_2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien (P) rapporté au repère orthonormé \Oij{} on donne les points A, B et C tels que 

\begin{center}$\vect{\text{OA}} = \vect{\imath} + 3\vect{\jmath}, \quad  \vect{\text{OA}} = 4\vect{\imath} - \vect{\jmath}$\quad et \quad$\vect{\text{OC}} = - 3\vect{\imath} $.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle (ABC) est rectangle isocèle.
\item On considère l'application $f$ de $(P)$ dans $(P)$ qui au point M de coordonnées $x$ et $y$, fait correspondre le point M$'$ de coordonnées $x'$ et $y'$ telles que
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x'&=&y- 2\\
y'&=&x + 2.
\end{array}\right.\]

Montrer que B$'$ et C$'$ images respectives par $f$ de
B et de C ont pour coordonnées B$'(- 3~;~6)$ et C$(- 2~;~- 1)$.

Quelle est l'image par $f$ du point A ?
\item Démontrer que les droites (BB$'$) et (CC$'$) sont parallèles.
\item Démontrer que les points B, B$'$, C et C$'$ appartiennent à un cercle de centre A, dont on déterminera le rayon.
\item Calculer les coordonnées des milieux E et F de
[BB$'$] et [CC$'$].

Montrer que A, E et F sont alignés et que B$'$ et C$'$
sont les images de B et C dans une symétrie orthogonale.
\item Calculer le sinus de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{CAF}}$.

En déduire la valeur approchée à un degré près par défaut de l'écart angulaire de l'angle
$\widehat{\text{CAC}'}$.
\end{enumerate}
\end{document}