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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Montpellier}
\lfoot{\small juin 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Montpellier juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

$f$ et $g$ sont deux applications polynômes:
\[\begin{array}{l l c l l l c l}
f :	&\R		&\to 	&\R		&g :	&\R		&\to 	&\R\\
	&x		&\mapsto&x^2 -49& 		&x		&\mapsto&x^2 - 14x + 49 +(x - 7)(3x - 1) \\
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(5)\:;\:f(-5)$ et $f\left(\sqrt 2\right)$.

En déduire que $f$ n'est pas une bijection.

\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ les équations: 
\[f(x) = 0\qquad ;\qquad g(x) = 0.\]

\item On appelle $h$ la fonction rationnelle suivante:
\[\begin{array}{l l c l }
h :&\R&\to&\R\\
&x&\longmapsto&\dfrac{g(x)}{f(x)}
\end{array}\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_h$ de $h$.
		\item Simplifier $h(x)$.
		\item Résoudre dans $\R$ les équations suivantes:

\[h(x) = 0 \quad; \quad h(x) = \dfrac{10}{7} \quad; \quad |h(x)| = 1.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

AB désigne la distance des deux points A et B.

$\Delta$ et $\Delta '$ sont deux droites perpendiculaires se coupant en I. 

A et B appartiennent respectivement à $\Delta$ et $\Delta '$ et vérifient:

IA = 1 ; IB = 2 

On considère les points C et D définis par:

\[\vect{\text{IC}}= -4 \vect{\text{IA}}\quad  ;\quad  \vect{\text{ID}} = -4\vect{\text{IB}}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AB, BC, AC, CD. 

Quelle est la nature du triangle ABC ?
\item Montrer que le triangle BCD est rectangle. 

Quel est le centre du cercle $(\Gamma)$ circonscrit au triangle BCD. 

On appellera O ce point.
\item Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 

Démontrer qu'il existe un réel $k$ tel que: $\vect{\text{CD}} = k\vect{\text{AB}}$, et
 calculer la valeur de $k$.
\item Soit K $= S_{\text{O}}$(C) ($S_{\text{O}}$ désignant la symétrie centrale de centre O).

Quelle est la nature du quadrilatère CBKD ?

En déduire que K appartient au cercle $(\Gamma)$.
\item Situer les centres E et F des cercles circonscrits aux triangles IBA et IDC.
\item Sachant que $\vect{\text{IE}} = \vect{\text{IA}}  + \vect{\text{AE}}$ et que $\vect{\text{IF}} = \vect{\text{IC}} + \vect{\text{CF}}$, montrer que $\vect{\text{IE}}$ et $\vect{\text{IF}}$ sont colinéaires. 

En déduire que les deux cercles admettent la même tangente au point I.
\end{enumerate}
\end{document}