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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Montpellier}
\lfoot{\small juin 1981}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Montpellier juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Jacques et Alain disposent respectivement de $6$ F et $12$ F{}.

Jacques peut acheter deux stylos et un cahier.

Alain peut acheter deux stylos et trois cahiers.

Ils auront alors dépensé tout leur argent.

Déterminer le prix d'achat d'un cahier et celui d'un stylo.
\item Représenter graphiquement, dans le plan rapporté à un repère \Oij{} les applications $g$ et $h$, de $\R$ dans $\R$, définies pour tout $x$ réel par

\[g(x) = 2(3 - x),\qquad  h(x) = - 3(x - 6).\]

Utiliser ce graphique pour retrouver la solution de la question 1.
\item Soit $p$ l'application, de $\R$ dans $\R$, définie pour
tout $x$ réel, par

\[p(x) = \left(36 - 24x + 4x^2\right) - 6(2x - 6).\]

	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $p(x)$.
		\item Factoriser $p(x)$.
	\end{enumerate}	
\item $u$ et $v$ étant deux réels positifs, on appelle
moyenne géométrique de $u$ et $v$ la racine carrée de leur produit $\sqrt{uv}$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelles valeurs de $x$ pourra-t-on définir la moyenne géométrique des réels $h(x)$ et $g(x)$ (introduits à la question 2.) ?
		\item Exprimer, quand elle existe, cette moyenne géométrique en fonction de $p(x)$.
		
En utilisant cette expression, en donner, pour $x = \sqrt 3$, une valeur approchée à $10^{-1}$ près par défaut.

(On rappelle l'encadrement $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

A et B sont deux points du plan euclidien tels que
$d$(A, B) $= 6$ (où $d$(A, B) désigne la distance des points A et B). 

Soit M le milieu du bipoint (A, B) et $(\Delta)$ la
médiatrice du segment [A, B].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire, à la règle et au compas, un point C du plan tel que
$d$(A, C) $= 5$ et 

$d$(M, C) $= 4$.
\item Démontrer que C appartient à $(\Delta)$. 

Donner une valeur approchée, à un degré près par défaut, de la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACM}}$.
\item Soit D le symétrique du point C par rapport au
point M. 

Démontrer que le quadrilatère (A, C, B, D) est un losange.
\item Soit E le point du plan défini par l'égalité vectorielle

\[\vect{\text{CE}} = \vect{\text{AC}}. \]

Démontrer que les bipoints (B, C) et (D, E) ont
même milieu et que les droites (AB) et (BE) sont orthogonales.
\item Soit F le symétrique du point B par rapport à la
droite (AC). 

Démontrer que les quatre points A, B, E 
et F appartiennent à un même cercle.
\end{enumerate}
\end{document}