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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Montpellier}
\lfoot{\small juin 1986}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Montpellier juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Fractions

Attention : pour être correct, un résultat doit aussi être donné sous forme irréductible.

\begin{enumerate}
\item $\dfrac25 + \dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{15} = \dfrac{23}{30}$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{p{2cm}}X}
Correct.&Incorrect.& La réponse exacte est :\\ 
\end{tabularx}
\end{center}
\item $\dfrac{12}{49} \times \dfrac{14}{9} =  \dfrac{56}{147}$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{p{2cm}}X}
Correct.&Incorrect.& La réponse exacte est :\\ 
\end{tabularx}
\end{center}

\item $\dfrac{8}{25} : \dfrac{16}{75} = \dfrac32$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{p{2cm}}X}
Correct.&Incorrect.& La réponse exacte est :\\ 
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\item Radicaux
\begin{enumerate}
\item $\sqrt{45} - \sqrt 5 + \sqrt{20} = 4\sqrt 5$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{p{2cm}}X}
Correct.&Incorrect.& La réponse exacte est :\\ 
\end{tabularx}
\end{center}
\item $\sqrt{16+9} = 7$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{p{2cm}}X}
Correct.&Incorrect.& La réponse exacte est :\\ 
\end{tabularx}
\end{center}
\item $\left(2 + \sqrt 3\right)^2 = 7$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{p{2cm}}X}
Correct.&Incorrect.& La réponse exacte est :\\ 
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
\item Calcul approché

On part de l'encadrement : $1,732< \sqrt 3 <1,733$. 

On note $\overline{A}$ la valeur approchée par excès, à 0,01
près de $A = 2 - 10\sqrt 3$ déterminée à l'aide de cet encadrement.

Résultat proposé : $\overline{A} = -15,33$.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{p{2cm}}X}
Correct.&Incorrect.& La réponse exacte est :\\ 
\end{tabularx}
\end{center}

\item Calcul algébrique
	\begin{enumerate}
		\item $(2x+5)^2 = 4x^2 + 10x + 25$

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{p{2cm}}X}
Correct.&Incorrect.& La réponse exacte est :\\ 
\end{tabularx}
\end{center}

		\item $(x +3)(x - 3) + (5x - 2)(x + 4) = 6x^2 + 18x -17$
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{p{2cm}}X}
Correct.&Incorrect.& La réponse exacte est :\\ 
\end{tabularx}
\end{center}

		\item  $49x^2 - 25 = (7x - 5)^2$
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{p{2cm}}X}
Correct.&Incorrect.& La réponse exacte est :\\ 
\end{tabularx}
\end{center}
		\item $x^2 + 4x + 4 - 3(x + 2)=(x - 1)(x + 2)$
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{p{2cm}}X}
Correct.&Incorrect.& La réponse exacte est :\\ 
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ABC un triangle. À quelle condition liant AB$^2$, AC$^2$ et BC$^2$ peut-on affirmer qu'il est rectangle en A ?
\item On prend pour unité le centimètre :

Construire un triangle ABC dont les longueurs des côtés soient :

\begin{center} AB $= 6$\:;\quad AC $= 8$\:;\quad BC $= 10$.\end{center}

Ce triangle est rectangle en A. Pourquoi ?
\item Soit M le point du segment AB tel que: AM $= 2$.

La parallèle à (BC) passant par M coupe (AC) en N.

Compléter : $\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{\ldots}}{\text{AB}}$. Justifier votre réponse.

Calculer la longueur des segments [AN] et [NM].
\item On note $\widehat{\text{B}}$ l'angle en B du triangle ABC et $\widehat{\text{M}}$
l'angle en M du triangle AMN.

Compléter : $\tan \widehat{\text{B}} = \dfrac{\text{AN}}{\ldots}$.

Comparer $\tan \widehat{\text{B}}$ et $\tan \widehat{\text{M}}$.

Justifier votre réponse.

Déterminer une valeur approchée par défaut à une unité près de la mesure en degrés de $\widehat{\text{B}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

On étudie deux tarifs de location de voiture.

\begin{itemize}
\item Tarif A: 1~F le kilomètre et une somme fixe de $100$~F par jour.
\item Tarif B : $1,20$~F le kilomètre et une somme fixe de $80$~F par jour.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coûts au tarif A et au tarif B d'un déplacement de $S20$~kilomètres en trois jours.

Quel est, pour ce voyage, le tarif le plus avantageux  ?
\item Calculer les coûts notés $A(x)$ (pour le tarif A) et $B(x)$ (pour le tarif B) d'un déplacement de $x$ kilomètres en une journée.
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij. 

Représenter dans ce plan les fonctions qui à $x$ associent $A(x)$ et $B(x)$ calculés à la question précédente. 

(On prendra pour unité: sur l'axe des abscisses, 1 cm pour $10$~km; sur l'axe des ordonnées,
1 cm pour $20$~F{}. Les deux fonctions seront représentées sur le même graphique.)
\item Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle les deux coûts $A(x)$ et $B(x)$ sont identiques.
\item Répondre par le calcul à la question suivante : combien de kilomètres faut-il parcourir dans une journée pour que, pour cette journée de voyage, les tarifs A et B soient équivalents.

Comparer le résultat obtenu avec celui de la question 4.
\end{enumerate}

\end{document}