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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Montpellier}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Montpellier juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne deux couples de nombres réels $(x~;~y)$ ; justifier s'ils sont, ou non, solutions de l'équation d'inconnues $x$ et $y$: \: $2x + 3y + 9 = 0$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Si $x = -3$ et $y= \dfrac23$.
\item Si $x = - 5$ et $y = \dfrac13$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Une erreur s'est glissée dans chacune des deux égalités suivantes. Corriger afin d'avoir des égalités vraies ($x$ désigne un nombre réel quelconque).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\emph{Égalités fausses}&\emph{Égalités vraies}\\
\textbf{1.~} $(4x + 3)^2 = 16x^2 + 12x + 9$&$(4x + 3)^2= \ldots$\\
\textbf{2.~} $\left(x\sqrt 2 - 3\right)\left(x\sqrt 2 + 3\right) = 4x^2 - 9$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\dfrac12 - \dfrac27$.
\item Trouver l'entier naturel $a$ tel que la différence entre son
quotient par 3 et son produit par 7 soit égal à $221$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip



Effectuer chacun des calculs suivants pour choisir parmi les réponses proposées celle qui convient au calcul demandé :

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}c|} >{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Calcul demandé&\multicolumn{4}{c|}{Réponse proposée (entourer la réponse)}\\ \hline
\textcircled{1}~$\dfrac34 + \dfrac13 = $&$\dfrac47$&$\dfrac{13}{12}$&$\dfrac{3}{12}$&Je ne sais pas\\ \hline
\textcircled{2}~$\sqrt{9} + \sqrt{16} = $&7&$\sqrt{25}$&$\sqrt{18}$&Je ne sais pas\\ \hline
\textcircled{3}~$\sqrt{8} \times \sqrt 2 =$&$\sqrt{10}$&$\sqrt{15}$&4&Je ne sais pas\\ \hline
\textcircled{4}~$|+3| + |- 4| = $&1 &$-1$& 7&Je ne sais pas\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

$d_1$,\: $d_2$, $d_3$, sont trois droites parallèles. 

On donne DF $= 4,8$~cm, DE $= 3$~cm, GI $= 4$~cm.

Calculer GH. (On justifiera la méthode utilisée.)

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.6,3)
%\psgrid
\psline(0,0.4)(9.6,0.4)\psline(0,1.2)(9.6,1.2)\psline(0,2.5)(9.6,2.5)
\uput[r](9.4,0.4){$d_3$}\uput[r](9.4,1.2){$d_2$}\uput[r](9.4,2.5){$d_1$}
\psline(3.5,2.7)\psline(6.2,2.7)(9.4,0)
\uput[ul](3.2,2.5){D} \uput[ul](1.6,1.2){E} \uput[ul](0.5,0.4){F}
\uput[ur](6.4,2.5){G} \uput[ur](8,1.2){H} \uput[ur](8.92,0.4){I}
\end{pspicture}
\end{center}


\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABC est un triangle tel que :

$\widehat{\text{CBA}} =30\degres,\quad  \widehat{\text{ACB}} = 45\degres$,\quad 
AH $= 5$~cm (la droite (AH) étant la hauteur du triangle issue de A).

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(9.6,4)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.2)(9.6,0.2)(6.2,3.7)
\psline(6.2,3.7)(6.2,0.2)
\uput[ul](0.2,0.2){B}
\uput[u](6.2,3.7){A}\uput[ul](6.2,0.2){H}\uput[ur](9.6,0.2){C}
\psframe(6.2,0.2)(6.4,0.4)
\psarc(0.2,0.2){0.5}{0}{30}\rput(1.1,0.4){$30\degres$}
\psarc(9.6,0.2){0.4}{135}{180}\rput(8.9,0.4){$45\degres$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner la mesure de l'angle $\widehat{\text{HAC}}$ ; en déduire que HC $= 5$ cm puis calculer la valeur approchée en cm à $10 ^{-2}$ près par défaut de la longueur AC. 

(On donne $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$.)


\item Calculer la valeur exacte de la longueur AB et la valeur exacte de la longueur BH.

(On donne $\sin 30\degres = \dfrac12$ et $\cos 30\degres = \dfrac{\sqrt 3}{2}$.)
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans une pièce de $2,55$~m de hauteur, on veut relever un meuble parallélépipédique de $0,60$ ~m de profondeur et d'une hauteur de $2,50$~m, en procédant comme indiqué sur le dessin ci-dessous.

Est-ce possible ?

On donne $(2,5)^2 = 6,25$ et $\np{6,5025} =(2,55)^2$.

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(9.5,6)
%\psgrid
\psframe(0.8,0.6)(9.3,6)
\rput{25}(3,0.6){\psframe(5.3,1.3)}
\rput{45}(3,0.6){\psframe(5.3,1.3)}
\psline[linewidth=0.8pt]{<->}(6,5.35)(6.83,4.5)\rput{-50}(6.6,5.2){\small 0,60~m}
\psline[linewidth=0.8pt]{<->}(3.2,0.4)(7.9,2.6)\rput{26}(5.55,1.3){\small 2,50~m}
\psline[linewidth=0.8pt]{<->}(0.4,0.6)(0.4,6)\rput{90}(0.2,3.3){\small 2,55~m}
\psarc[linestyle=dashed](3,0.6){5.44}{39}{80}
\end{pspicture}
\end{center}


\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Je rêvais depuis longtemps de ce voyage en Amérique.

J'avais rassemblé mes économies, perfectionné mon anglais et je me retrouvais, d'avance émerveillé, dans cet avion qui m'emportait vers Los Angeles. Nous étions en été.
Quand j'étais allé à l'Ambassade pour obtenir le nécessaire visa d'entrée aux États-Unis, on m'avait remis de nombreux documents sur la vie qui m'attendait pendant ces premières vacances bien loin de chez moi. On n'en était plus au temps des paquebots qui mettaient au moins 5 jours pour traverser l'Atlantique, et je pensais avoir le temps, pendant les quelques heures d'avion, de lire attentivement ce qu'on m'avait remis, et que, sans doute par négligence, je n'avais pas pris soin de consulter chez moi.

Dans la documentation que je feuilletais, se trouvait le dessin ci-dessous.

Aux U. S. A., la température se mesure en degrés Fahrenheit (noté $\degres$~F). En France, elle se mesure en degrés Celsius (noté $\degres$~C). Cette courbe permet de transcrire des degrés Celsius (en abscisse) en degrés Fahrenheit (en ordonnée) et inversement. (Exemple : $25\degres~$C correspondent à $76\degres$~F.)

Je le regardais négligemment, puis je passais à la lecture des dépliants touristiques qui me semblaient bien plus intéressants.

Trente minutes avant l'atterrissage, le commandant de bord nous donna quelques informations sur les conditions de notre arrivée à Los Angeles; l'une d'elles me fit sursauter: \og la température au sol est de 90 degrés \fg.

Je repris le graphique, et très vite je fus rassuré; je ne regrettais pas non plus d'avoir quelques souvenirs du programme de mathématiques de la classe de troisième.

Je pus donc répondre aux quelques questions que je me posais alors, et qui font l'objet de ce problème...

\medskip

\begin{enumerate}
\item Questions auxquelles on doit répondre par lecture graphique.
	\begin{enumerate}
		\item Le commandant de bord parlait de $90\degres$~F. Faisait-il donc
si chaud que cela et à quelle température en $\degres$~C cela correspondait-il ?
		\item Quand il fait $-10\degres$~F aux U. S. A., fait-il froid ou moins froid que quand il fait $-10\degres$~C en France ?
		\item La glace fond à $0\degres$~C. À quelle température fond-elle en $\degres$~F ?
		\item Quelle est la température qui s'exprime par le même nombre en $\degres$~F et en $\degres$~C ?
	\end{enumerate}
\item Questions auxquelles on doit répondre par le calcul.
	\begin{enumerate}
		\item La courbe dessinée sur le graphique est une droite. Si l'on note en abscisse $x$ la température en $\degres$~C, si l'on note en ordonnée $y$ la température en $\degres$~F, écrire une équation de cette droite sachant qu'elle passe par les points (0~;~32) et (50~;~120).
		\item Retrouver par le calcul le résultat du a. 4.
		\item Un film de F. Truffaut porte le titre de \og Fahrenheit 451 \fg. Le titre du film vient du fait que $451\degres$~F est la température d'inflammation du papier. 
		
Quelle est, en $\degres$~C, la température d'inflammation du papier ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1mm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-50,-50)(65,130)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.075pt,subgridwidth=0.025pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-49,-49)(64,129)
\uput[d](50,-5){Température en \degres C}\uput[u](58,0){$x$}
\uput[r](5,125){Température en \degres F}\uput[r](0,128){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](0,76)(25,76)(25,0)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-50}{60}{1.76 x mul 32 add}
\uput[d](25,0){25}\uput[l](0,76){76}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}