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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1990}
\rfoot{\small Montpellier}
\lfoot{\small juin 1990}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Montpellier\footnote{Aix--Marseille, Nice--Corse, Toulouse, Algérie} juin 1990 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\emph{Les trois exercices sont indépendants}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Cocher ci-après les égalités qui sont vraies.


\[\begin{array}{l c c}
&\text{oui}&\text{non}\\
(x - 1)^2 = x^2- x + 1	&\Box &\Box\\
(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1&\Box &\Box\\
(x - 1)^2 = x^2 - 1&\Box &\Box\\
(x - 1)(x + 1) = x^2- x + 1	&\Box &\Box\\
(x - 1)(x + 1) = x^2 - 2x + 1&\Box &\Box\\
(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1&\Box &\Box\\
(x - 2)(x + 1) = x^2- x + 1	&\Box &\Box\\
(x - 2)(x + 1) =x^2 - 2x + 1&\Box &\Box\\
(x - 2)(x + 1) = x^2 - 1&\Box &\Box\\
\end{array}\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans le repère ci-après, placer le point B de coordonnées (5~;~5).

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(8,7.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none]{->}(0,0)(0,0)(8,7.5)
\uput[d](1,0){\small 1}\uput[l](0,1){\small 1}\uput[dl](0,0){O}
\psdots(2,3)\uput[ur](2,3){A}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,3)(0,3)
%\psgrid
\end{pspicture}
\end{center}

		\item Le point A a pour abscisse 2 et pour ordonnée 3. Déterminer
les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
		\item Déterminer l'équation de la droite (AB).
	\end{enumerate}	
\item Voici les notes obtenues par $50$ élèves lors d'un test :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{15}{>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline
\footnotesize Note &5 &6 &7 &8 &9 &10&11&12&13&14&15&16&17&18&19\\ \hline
\footnotesize Effectif
(nombre d'élèves ayant la note indiquée en dessus)&1&0&2&5&5&7&7&5&8&5&3&0&0&1&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item On a représenté certaines des données sur le diagramme en bâtons ci-après. Terminer ce diagramme.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(16,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=4]{->}(0,0)(0,0)(16,10)
\uput[d](14.5,-0.5){\footnotesize Note obtenue}\uput[r](0,9.5){\footnotesize Effectif}
\psline[linewidth=1.5pt](1,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.5pt](4,0)(4,5)
\psline[linewidth=1.5pt](5,0)(5,5)
\psline[linewidth=1.5pt](8,0)(8,5)
\psline[linewidth=1.5pt](9,0)(9,5)
\psline[linewidth=1.5pt](13,0)(13,1)
\psline[linewidth=1.5pt](14,0)(14,1)
\end{pspicture}
\end{center}
		\item Compléter la troisième ligne du tableau ci-dessous :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|c|*{14}{>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline		
Note 		&5 		&6 	&7 	&8 	&9 	&10 &11	&12	&13	&14	&15	&16	&17	&18	&19\\ \hline
Effectif 	&1		&0	&2	&5	&5	&7	&7	&5	&8	&5	&3	&0	&0	&1	&1\\ \hline
Fréquence 	&0,02	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\emph{Les trois exercices sont indépendants}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Cocher ci-après la case correspondant à la réponse.
	\begin{enumerate}
		\item Lorsqu'on double la longueur d'un rectangle sans modifier la largeur, son aire est
multipliée par :

\[2\quad \Box \quad 4 \quad \Box \quad 6 \quad  \Box\quad 8 \quad \Box\]

		\item Lorsqu'on double le rayon d'un cercle, son aire est multipliée par :
		
\[2\quad \Box \quad 4 \quad \Box \quad 6 \quad  \Box\quad 8 \quad \Box\]
		
		\item Lorsqu'on double les trois dimensions d'un parallélépipède rectangle, son volume est
multiplié par :

\[2\quad \Box \quad 4 \quad \Box \quad 6 \quad  \Box\quad 8 \quad \Box\]

	\end{enumerate}
\item Sur cette figure, AB $= 1$ cm, BB$' = 2$ cm, AC$' = 7,5$ cm et la droite (BC) est parallèle à la droite (B$'$C$'$).

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(8,3)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,0.2)(7.5,0.2)(2,2.1)%B'C'A
\psline(1.43,1.4)(4,1.4)%BC
\uput[dl](0.5,0.2){B$'$} \uput[dr](7.5,0.2){C$'$} \uput[u](2,2.1){A}
\uput[dr](1.43,1.4){B} \uput[dl](4,1.4){C}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(1.3,1.5)(1.85,2.2) \rput{50}(1.5,2.1){\small 1 cm}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.4,0.3)(1.3,1.5) \rput{50}(0.7,1.1){\small 2 cm}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(2.15,2.25)(7.6,0.4) \rput{-21}(4.9,1.5){\small 7,5 cm}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Cocher ci-après la case correspondant à la réponse.

	\begin{enumerate}
		\item Le théorème qui permet de calculer la longueur AC est le
		
\begin{center}
\begin{tabular}{l r}
théorème de Pythagore &$\Box$\\
théorème de Thalès&$\Box$\\
autre&$\Box$\\
\end{tabular}
\end{center}

		\item La longueur AC est égale à
\begin{center}
\begin{tabular}{l r}
2,3 cm&$\Box$\\
2,4 cm&$\Box$\\
2,5 cm&$\Box$\\
2,7 cm&$\Box$\\
\end{tabular}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item Le motif $m$ est la figure ABC.
	
\begin{center}
\psset{unit=5mm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-7,-5)(8,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt]
\psline(3,-1)(0,0)(3,3)
\psarc(3,1){2}{-90}{90}
\uput[l](0,0){A} \uput[u](3,3){B} \uput[d](3,-1){C}
\rput(3,1){$m$}
\end{pspicture}
\end{center}	
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner le motif $m_1$ symétrique de $m$ par rapport au point A.
		\item Dessiner le motif $m_2$ symétrique de $m$ par rapport au point B.
		\item Dessiner le motif $m_3$ symétrique de $m$ par rapport à la droite (AB).
		\item En examinant la figure, dire quelle est la transformation qui fait passer du motif
$m_1$ au motif $m_2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

On considère une pyramide ABCDE à base rectangulaire ABCD
et de sommet E.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.8,3.5)
%\psgrid
\pspolygon(2.75,2.7)(1,1.9)(0.2,0.2)(2.75,2.7)(4.5,0.2)(5.3,1.9)%EBAEDCE
\psline(0.2,0.2)(4.5,0.2)%AD
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(5.3,1.9)(1,1.9)(4.5,0.2)%ACBD
\psline[linestyle=dashed](2.75,1.05)(2.75,2.7)%IE
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[ul](1,1.9){B} \uput[ur](5.3,1.9){C}
\uput[dr](4.5,0.2){D} \uput[u](2.75,2.7){E} \uput[d](2.75,1.05){I}
\end{pspicture}
\end{center}

Les diagonales du rectangle ABCD se coupent en leur milieu I. On donne les dimensions suivantes :

AB $= 6$ cm, BC $= 12$ cm, AB $=$ EC $= 8$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
		\item Démontrer que AC $= 6\sqrt 5$ cm et AI $= 3\sqrt 5$ cm.
	\end{enumerate}
\item Voici la représentation plane du triangle AEC.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.8,-0.2)(2.8,2.2)
\pspolygon(-2.8,0)(2.8,0)(0,2)%ACE
\psline(0,2)(0,0)%EI
\uput[dl](-2.8,0){A} \uput[dr](2.8,0){C} \uput[u](0,2){E} \uput[d](0,0){I}
\psline(-1.35,-0.1)(-1.25,0.1)\psline(-1.25,-0.1)(-1.15,0.1)
\psline(1.15,-0.1)(1.25,0.1)\psline(1.25,-0.1)(1.35,0.1)
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ? En déduire que la
droite (EI) est perpendiculaire à la droite (AC).
		\item Calculer la valeur exacte de la longueur IE.
	\end{enumerate}
\item Calculer le volume en cm$^3$ de la pyramide. On en donnera la valeur exacte et une valeur approchée à $0,1$ près par défaut.
\item On coupe la pyramide par un plan (P) parallèle à la base ABCD. (P) coupe les arêtes [EA], [EB], [EC] et [ED] respectivement en J, H, K et L.

On donne EJ = $\dfrac13$ EA.

Calculer le volume en cm$^3$ de la pyramide EJHKL. On en donnera la valeur exacte et une valeur approchée à $0,1$ près par défaut.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.8,3.5)
%\psgrid
\pspolygon(2.75,2.9)(1,1.9)(0.2,0.2)(2.75,2.9)(4.5,0.2)(5.3,1.9)%EBAEDCE
\psline(0.2,0.2)(4.5,0.2)%AD
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(5.3,1.9)(1,1.9)(4.5,0.2)%ACBD
\psline[linestyle=dashed](2.75,1.05)(2.75,2.9)%IE
\psline(2.2,2.6)(1.9,2)(3.35,2)(3.6,2.6)
\psline[linestyle=dashed](2.2,2.6)(3.6,2.6)(2.2,2.6)
\psline[linestyle=dashed](3.35,2)(2.2,2.6)
\psline[linestyle=dashed](1.9,2)(3.6,2.6)
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[ul](1,1.9){B} \uput[ur](5.3,1.9){C}
\uput[dr](4.5,0.2){D} \uput[u](2.75,2.9){E} \uput[d](2.75,1.05){I}
\uput[ul](2.2,2.6){H}\uput[l](1.9,2){J}\uput[ur](3.6,2.6){K}
\uput[r](3.35,2){L}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{document}