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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Montpellier}}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Montpellier octobre 1957}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Étant donnés deux axes de coordonnées rectangulaires, $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$, sur lesquels l'unité de longueur adoptée est le cm, placer les points M et dont les coordonnées respectives sont les suivantes;
\begin{center}M(1~;~4) ;\qquad N$(-1~;~1)$.\end{center}
\item Calculer la longueur du segment de droite [MN].
\item Calculer l'aire du quadrilatère convexe ayant pour sommets les points M, N et les projections de ces deux points sur l'axe des abscisses.
\item Déterminer par le calcul les coordonnées des points où la droite $D$ portant les points M et N coupe les axes de coordonnées.

Vérifier graphiquement.
\item Le point P de coordonnées (1~;~3) est-il situé sur $D$ ? Pourquoi ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

On donne un triangle BAC rectangle en A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le lieu des centres des circonférence passant par les points A et B et démontrer que ce lieu passe par le milieu, M, de l'hypoténuse de BAC.
\item Construire le cercle passant par A et tangent à (BC) au point B et le cercle passant par A et tangent en C à (BC).

O et O$'$ sont respectivement les centres de ces deux cercles.
\item Démontrer que ces cercles sont tangents.
\item Préciser la nature -- et la justifier -- du triangle OMO$'$.
\item On mène en A la tangente commune à O et O$'$.

Calculer la longueur de la portion de cette tangente comprise entre A et son intersection avec (BC).
\end{enumerate}
\end{document}