\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Montpellier septembre 1951},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Montpellier}}
\rfoot{\small{septembre 1951}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Montpellier septembre 1951~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On donne l'expression
\[y = \dfrac{\dfrac{1}{x^2 - 1} + \dfrac{x - 1}{(x + 1)^2}}{\dfrac{1}{x^2 + 2x + 1} + \dfrac{1}{(x - 1)^2}}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs numériques de $y$ pour
\[x = 0,\qquad  x=\dfrac12,\qquad  x = +1.\]

\item Simplifier l'expression $y$.

Calculer à nouveau ses valeurs numériques pour les mêmes valeurs de $x$.

Comparer les résultats à ceux de la première question.
\item L'expression simplifiée est le quotient de deux fonctions de $x$.

En représentant ces deux fonctions sur un même graphique, que constate-t-on ?

Pouvait-on prévoir le résultat de celte constatation ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Soient un cercle de centre O et un de ses diamètres [AB].

On prend de part et d'autre de (AB) deux point C et D sur le cercle.

Soient M le milieu de la corde [AD] et I le point où (OM) coupe (DC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que 
\begin{center}DM $\times$ AB = BC $\times$  DI\end{center}
\item Montrer que le quadrilatère OICA est inscriptible.
\item Où faut-il que soit situé le point D pour que le points I et O soient confondus ?
\item Sur quelle courbe se déplace le point I quand A, C et B étant fixes, D décrit un arc $\widearc{\text{AC}'}$ limité au point C$'$ diamétralement opposé à C ?
\end{enumerate}
\end{document}