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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Montpellier}}
\rfoot{\small{septembre 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Montpellier\:septembre 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Deux camarades ont fait une excursion de $111$~km dans les conditions suivantes : 

la première partie a été parcourue à bicyclette à la moyenne de $16$ km à l'heure et la seconde en car à la vitesse de $50$~km à l'heure.

Sachant que le parcours fait à bicyclette et en car a duré en tout 3~h~3/4, calculer à quelle distance du point de départ les bicyclettes ont été abandonnées.

(Solution arithmétique, algébrique, graphique au choix des candidats)

%\medskip

%\begin{enumerate}
%\item 
%\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Dans un cercle de diamètre [BC], on prolonge une corde [BA] d'une longueur AD telle que AD = BA.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle BCD est isocèle.
\item On prolonge la corde [BE], perpendiculaire à (BA), d'une longueur EF telle que 

EF = BE.

Démontrer que le triangle BCF est aussi isocèle et calculer l'angle $\widehat{\text{ACE}}$.
\item Démontrer que les trois points D, C, F sont alignés.
\item Démontrer que le cercle de centre C et de rayon CD passe par les points B et F et qu'il est tangent au  cercle de diamètre [SC].
\item Dans le cas où la corde [BA] fait un angle de $45\degres$ avec le diamètre [BC], préciser la position de la droite (DF).
\end{enumerate}
\end{document}