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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Montpellier septembre 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement (prendre le centimètre comme unité sur chaque axe) les équations
\[\left\{\begin{array}{l l c l}
(1)& 3y- 6x + 12&=&0,\\
(2)& 2y + x - 5&=&0
\end{array}\right.\]

et donner, d'après le graphique, la solution du système du premier degré qu'elles forment.
\item Vérifier les résultats obtenus en donnant la solution algébrique du système précédent.
\item La droite $D_1$ (équation 1) coupe $yy'$ en C et la droite $D_2$ (équation 2) coupe $yy'$ en B.

Les deux droites se coupent en A.

Trouver l'équation de la médiane [AM] du triangle ABC.

\item Calculer la longueur du segment [AM].

Vérifier que AM $= \dfrac{\text{BC}}{2}$

Montrer que ce résultat était prévisible.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Sur un segment [AB], de longueur $a$, on prend un point C
tel que AC $= \dfrac a3$  puis on décrit un demi-cercle de centre
O et de diamètre [AB].

En C, on élève la perpendiculaire à (AB) : elle coupe le demi-cercle en D.

On mène ensuite la perpendiculaire (OH) sur (AD).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $a$ les longueurs 
CD, AD, BD et  OH.
\item Montrer que le quadrilatère CODH est inscriptible dans un cercle, dont on précisera la position du centre.
\item On décrit le cercle de diamètre [CD] ; il recoupe (AD) en E et (BD) en F{}.

Nature du quadrilatère DECF{}.

Calculer en fonction de $a$ les longueurs des segments [DE] et [OF].
\end{enumerate}
\end{document}