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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Montpellier}}
\rfoot{\small{septembre 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Montpellier~\decofourright\\[7pt]
 septembre 1962}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.
\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous la forme d'un polynôme ordonné le produit 
\[A(x) = (2x - 1) (3x - 2)\]

et décomposer en un produit de facteurs du premier degré les expressions suivantes:
\[\begin{array}{l c l}
B(x) &=& x^2 - 6x + 9,\\
C(x) &=& (2x - 1)^2 - (2x - 1)(x + 2),\\
D(x) &=& (2x + 1)^2 - (x - 3)^2.
\end{array}\]
\item  Simplifier l'expression
\[P(x) = \dfrac{(2x - 1)^2 - (2x - 1)(x + 2)}{(2x + 1)^2 - (x - 3)^2}\cdot \dfrac{\left(6x^2 -7x + 2\right)(x + 4)}{(2x - 1)\left(x^2 - 6x + 9\right)}\]

et indiquer pour quelles valeurs de $x$ cette simplification n'est pas légitime.

Les valeurs de $x$ ainsi trouvées étant exclues, calculer l'expression 
\[R(x) = P(x) - \dfrac{3x + 2}{x - 3}.\]
\item Représenter graphiquement les fonction 
\begin{center}$y = x - 3$ \qquad et \qquad $y=- x - 3$.\end{center}

En déduire, d'après ce graphique, la valeur de $x$ pour laquelle $R(x) = 1$. (On prendra pour unité de longueur le centimètre.) 

Que peut-on dire des deux droites ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un triangle ABC rectangle en A et tel que l'angle $\widehat{\text{C}}$ soit égal à $30\degres$.

Le cercle (O) de diamètre [AC] coupe le côté [BC] en H. On pose AC $= 2R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $R$ la mesure de chacun des segments [AB], [BC], [AH] et [BH].
\item La parallèle en H au diamètre [AC] coupe le cercle (O) en D ; le segment [AD] coupe (BH) en~I.

Démontrer que [AD) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.

En déduire la nature des triangles ABI et AIC.
\item Soit H$'$ le symétrique de H par rapport à (AC).

Montrer que les points D et H$'$ sont diamétralement opposés sur le cercle (O).
\item Comparer les triangles HDH$'$ et ABC.

Calculer leur rapport de similitude.
\end{enumerate}
\end{document}