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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Montpellier}}
\rfoot{\small{septembre 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Montpellier ~\decofourright\\[6pt]septembre 1971}\\[6pt]

MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Soit le polynôme

\[P(x) = (x - 1)\left(x^2 - 4\right) - (x + 2)(3x - 3).\]

\smallskip

	\begin{enumerate}
		\item Effectuer les opérations indiquées, réduire et ordonner
le polynôme selon les puissances décroissantes de $x$.
		\item Mettre $P(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du 
premier degré.
		\item Développer ce produit et comparer le résultat obtenu
avec celui de la première question.
		\item Résoudre dans l'ensemble $\R$ l'équation $P(x) = 0$. 
	\end{enumerate}
\item Soit la fraction rationnelle

\[F(x) = \dfrac{P(x)}{(x + 2)\left(x^2 - 25\right)}\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner l'ensemble de définition de $F(x)$ - c'est-à-dire
l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $F(x)$ est calculable.
		\item Simplifier $F(x)$ ; soit $F'(x)$ la fraction simplifiée.
		\item Donner l'ensemble de définition de $F'(x)$.
		
Comparer l'ensemble de définition de $F'(x)$ avec celui de $F(x)$. Conclure.
		\item Résoudre dans l'ensemble $\R$ l'équation $F'(x) = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

NOTE. - On répondra clairement aux questions posées en les numérotant.
\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\medskip

Soit $a$ la mesure du côté d'un carré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la mesure de sa diagonale en fonction de $a$.
\item Construire un cercle de centre O, de rayon $R$ et une
tangente (A$t$) à ce cercle (A est un point quelconque du cercle).

Soit B un point de (A$t$) tel que AB $= R\sqrt{2}$.

Calculer OB en fonction de $R$, la puissance du point B par rapport au cercle (O, $R$) et celle du point A.
\item On prolonge la droite (BO) qui coupe le cercle en C et D (C est situé sur le segment [BO]).

Par D on mène la parallèle à (A$t$) qui coupe le prolongement du segment [AO] en I et le cercle en E.

Comparer les triangles BAO et DIO.

Calculer OI, ID et ED en fonction de $R$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère CEIO ?
\item Calculer la mesure du périmètre de ce quadrilatère en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}