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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Montpellier septembre 1972~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système de deux équations à deux inconnues
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x - 2y + 7 &=& 0,\\
2x - y - 1 &=&0.
\end{array}\right.\]

\item La première équation du système peul être représentée graphiquement par une droite 
$\left(D_1\right)$ et la seconde
par une droite $\left(D_2\right)$.

Construire $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ sur un même graphique, en
expliquant ces constructions.

Vérifier à l'aide du graphique le résultat obtenu à la première question.
\item Quelle est l'ordonnée du point, P, de la droite $\left(D_1\right)$ qui a pour abscisse $2$ ; celle du point, Q, de $\left(D_1\right)$ qui a pour abscisse un nombre donné $k$ ?

Quelle est l'abscisse du point, R, de $\left(D_2\right)$ qui a pour ordonnée $\dfrac32$ ?

Quelles sont les coordonnées milieu, I, de [PR] ?

Toutes ces réponses devront être justifiées, le graphique ne pouvant servir que de vérification.
\item Trouver l'équation de la droite $\left(D_3\right)$, parallèle à $\left(D_1\right)$ et passant par le point A de coordonnées $\left(-\dfrac38~;~2\right)$.

Construire $\left(D_3\right)$ sur le graphique déjà fait.

Vérifier sur le graphique, et par le calcul, que $\left(D_3\right)$ passe par I.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On considère dans un repère orthonormé $(x'\text{O}x,~ y'\text{O}y)$ les points suivants :

A de coordonnées (0~;~6), B de coordonnées $(- 3~;~0)$, D de coordonnées (8~;~0).

Le cercle circonscrit au triangle (ABD) recoupe l'axe $y'y$ en C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\overline{\text{OA}} \cdot \overline{\text{OC}} = \overline{\text{OB}}\cdot\overline{\text{OD}}$.
\item Calculer $\overline{\text{OC}}$ et les mesures de [AB] et [CD].
\item Soit M le milieu de [CD]. La droite (MO) coupe (AB) en H.

Démontrer que l'on a $\widehat{\text{MOC}} = \widehat{\text{MCO}}$ et $\widehat{\text{ABD}} = \widehat{\text{ACD}}$.

Comparer les triangles (BOA) et (OHA).

En déduire que (MH) est perpendiculaire à (AB).
\item Calculer les longueurs des segments [OH] et [MH].
\item Quelles sont les coordonnées du centre, P, du cercle circonscrit au quadrilatère (ABCD) ?
\end{enumerate}
\end{document}