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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Montpellier septembre 1973~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère les fonctions polynômes $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par

\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& 2x(x- 2) +3x- 6,\\
g(x) &=& (3x + 5)^2 - (x + 2)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous la Corme de produits de polynômes du premier degré.
\item Soit la fonction rationnelle $h$ de $\R$ dans $\R$ définie par
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de la fonction rationnelle h.
Pour tout élément $x$ de $\mathcal{D}$, mettre $h(x)$ sous une Corme plus simple.
\item Calculer $h(0),\: h\left(-\dfrac23\right)$ et $h\left(\sqrt 5\right)$.
\item Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :
\begin{center}$h(x) = 0, \: h(x) = 3$\quad et\quad $h(x) = - \dfrac14$.\end{center}
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation suivante : 
\[h(x) \geqslant 0.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Les points A, B, C et D du plan euclidien sont déterminés par leurs coordonnées dans un repère orthonormé \Oij :
\begin{center}A$(- 4~;~0)$,\quad B(3~;~1),\quad C(6~;~4)\quad et \quad D$(-1~;~3)$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que (A, B, C, D) est un parallélogramme.

Quelles sont les coordonnées de son centre de symétrie ?
\item Démontrer que le triangle (O, B, D) est rectangle isocèle.
\item Calculer, en degrés, avec la précision permise par les tables trigonométriques, l'écart angulaire des deux demi-droites [OI) et [OB) (I tel que $\vect{\text{OI}} = \vect{\imath}$).
\item Placer le point E tel que le bipoint (O, E) soit un 
représentant du vecteur $\dfrac45\vect{\text{OB}} + \dfrac75\vect{\text{OD}}$.

Quelles sont les coordonnées du point E ? Calculer $d$(AE).
\item Démontrer que les points D, A et E sont alignés.
\end{enumerate}
\end{document}