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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Montpellier septembre1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

$A$ et $B$ sont les applications polynômes de $\R$ vers $\R$
déterminées par
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=&(4x +3)(5x - 1) + 2\left(25x^2 - 10x + 1\right)\:\text{et}\\
B(x)&=&4(4x- 1)^2 - 9(2x + 1)^2.
 \end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Écrire $A(x)$ et $B(x)$ chacun sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item $F$ est la fonction rationnelle de $\R$ vers $\R$ déterminée par 
\[F(x) =\dfrac{A(x)}{B(x)}.\]

Donner l'ensemble de définition de $F$.

Simplifier $F(x)$. On appellera $F'$ la fonction rationnelle de $\R$ vers $\R$ ainsi obtenue.

On trouvera $F'(x)= \dfrac{5x - 1}{2x - 5}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $F'(x) = 1$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $F'(x) \geqslant 0$.
		\item Calculer $F'\left(2 - \sqrt 3\right)$.
	\end{enumerate}
\item Représenter graphiquement les fonctions $f$ et $g$
de $\R$ vers $\R$ déterminées par
\begin{center}$f(x) = 5x - 1$\quad et \quad $g(x) = 2x - 5$.\end{center}

QueUes sont les coordonnées du point d'intersection des droites représentatives ?

Comparer l'abscisse aux résultats de la question 3.

Expliquer.
\item Résoudre dans $\R \times  \R$ le système
\begin{center}$x - 0,2y = 0,2$\quad et \quad $0,8x - 0,4y = 2$.\end{center}

Pouvait-on prévoir le résultat obtenu ?

Préciser pourquoi
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij,
on considère les points A et B de coordonnées respectives $(- 1~;~4)$ et (3~;~2).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $d$(A, B) et les coordonnées du milieu, I, du bipoint (A, B).
\item Déterminer l'abscisse $c$ du point C de l'axe des abscisses tel que le triangle ABC soit rectangle en A (on trouvera $c = - 3$).

Calculer l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ACB}}$.
\item Construire géométriquement le point D tel que
\[\vect{\text{CD}} = \vect{\text{CA}} + \vect{\text{CB}}\]

et calculer les coordonnées du point D.
\item Soit la symétrie de centre A.

Quelles sont les coordonnées du point E image de D dans cette symétrie ? 
\item Écrire chacun des vecteurs $\vect{\text{BA}},\: \vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{BE}}$ sous. forme d'une combinaison linéaire des vecteurs $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$.

Montrer par le calcul que
\[\vect{\text{BE}} = \vect{\text{BA}} + \vect{\text{BC}}\]
\item Soit M l'image de C dans la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.

Montrer que le point M appartient aux droites (EC) et (BD).
\end{enumerate}
\end{document}