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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Montpellier}
\lfoot{\small septembre 1977}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Montpellier septembre 1977 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Soient $f$ et $g$ les deux applications de $\R$ dans $\R$ telles que : 
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&4(x + 5)(5x 2);\\
g(x)&=&25x^2 - 4
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner f(x).
		\item Calculer $f(0) \:;\: f\left(\dfrac25\right)\: ;\: f\left(\sqrt 2\right)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $g(x)$ sous forme d'un produit de facteurs.
		\item Calculer $g(0)$ \:;\:$g\left(\dfrac25\right)$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $g(x) = 0$.

Écrire l'ensemble $S$ des solutions.
\item Soit $h$ la fonction rationnelle définie sur $\R$ par:
h(x) =f(x) g(x)
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer D, ensemble de définition de $h$.
		\item Simplifier $h(x)$.
		\item Calculer $h\left(\sqrt 3\right)$. Rendre entier le dénominateur.

En utilisant l'encadrement à $10^{-3}$ près de $\sqrt 3$ déduit de la table, déterminer l'encadrement de $h\left(\sqrt 3\right)$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ :
\[\dfrac{4x +20}{5x + 2} = 1 \quad \text{puis}\quad  \dfrac{400x + \np{2000}}{500x + 200} \leqslant 1.\]

\item Monsieur Durand souhaite utiliser une voiture quelques mois.

Il hésite entre un achat et une location.

L'achat s'effectuerait à crédit par un versement initial de \np{2000}~F et 24 paiements mensuels de $400$~F.

La location consisterait en un versement initial de $200$~F et des paiements mensuels de $500$~F{}.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $A(x)$ la somme versée pour l'achat à crédit au bout de $x$ mois $(0 < x \leqslant 24)$. 
		
Soit $L(x)$ la somme versée pour la location au bout de $x$ mois.

Exprimer $A(x)$ et $L(x)$ en fonction de $x$.
		\item À partir de quel mois l'achat à crédit est-il plus avantageux pour M. Durand que la location ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Soient dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} les points A, B, C,
de coordonnées 
\begin{center}A(8~;~5),\quad  B$(2~;~- 1)$,\quad  C$(10~;~- 1)$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le point I(6~;~1) est le centre du cercle passant par A, B, C.
\item Trouver les coordonnées du point D, symétrique de A par rapport à I.
\item Montrer que la droite d'équation $y = - 3x + 29$ est la droite (AC).
\item N$(x~;~y)$ est un point quelconque de la perpendiculaire $\Delta$ à la droite (AC) passant par B.

Utiliser la condition d'orthogonalité des vecteurs $\vect{\text{BN}}$ et $\vect{\text{AC}}$ pour trouver une relation entre $x$ et $y$ (équation de la droite $\Delta$).
\item Quelles sont les coordonnées du point d'intersection H des hauteurs du triangle ABC passant par A et B ?
\item Soit le point G tel que 
\[\vect{\text{GA}}+ \vect{\text{GB}} + \vect{\text{CC}} = \vect{0}.\]

Trouver les coordonnées de G.
\item Montrer que les points I, H, G sont alignés.
\end{enumerate}
\end{document}