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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Montpellier}
\lfoot{\small septembre 1978}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Montpellier septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère deux applications
$f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
f :&x&\longmapsto f(x) = (x + 1)^2 - 49\\
g :&x &\longmapsto  g(x) =(3x + 1)(x - 6) - 3(x - 6) 
\end{array}\right.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ et $g(x)$.
\item Ecrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier
degré.
\item Calculer $f(0) ;\:f(- 2) ;\:f\left(\sqrt 2\right) ;\:g(0) ;\:g(6) ;\:g\left(\dfrac23\right)$.

Les applications $f$ et $g$ sont-elles des bijections ? Pourquoi ?
\item Soit $h$ la fonction rationnelle, de $\R$ dans $\R$, définie par : 
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Quel est son ensemble de définition ?
		\item Simplifier $h(x)$ ;soit $h'(x)$ l'expression simplifiée.
		\item Résoudre les équations: $x \in \R,\: h'(x) = 1 ;\: x \in \R,\: \left|h'(x)\right| = 1$.
	\end{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé \Oij{} construire les représentations graphiques $G_1$ et $G_2$ des applications $f_1$ et $f_2$ de l'intervalle $I = [- 5~;~+ 5]$ vers $\R$.
\[\begin{array}{l l c l}
f_1 :& I&\to& \R\\
&x &\longmapsto&x + 8
\end{array} \qquad
\begin{array}{l l c l}
f_2 :& I&\to& \R\\
&x &\longmapsto&3x - 2
\end{array}\]

$G_1$ et $G_2$ sont des segments de droite dont on précisera les extrémités.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{},  I est le point
d'abscisse 3 et d'ordonnée 3, $\mathcal{C}$ est le cercle de centre I, passant par O. 

Calculer le rayon de ce cercle.
\item H est la projection orthogonale de I sur l'axe des abscisses.

La droite (IH) coupe le cercle en deux points A et A$'$. (On désigne par A le point d'ordonnée négative).

Calculer les coordonnées respectives de A et A$'$.
\item La droite (OI) recoupe le cercle en B. Montrer que OABA$'$ est un rectangle.
\item D est le symétrique de O par rapport à la droite (AA$'$).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que D appartient au cercle $\mathcal{C}$.
		\item Montrer que la droite (ID) est la médiatrice de [OB].
	\end{enumerate}	
\item $t$ est la tangente au cercle $\mathcal{C}$ en D. $t$ coupe l'axe des ordonnées en T.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que OBDT est un parallélogramme.
		\item Calculer les coordonnées de T.
		\item Calculer $\tan \widehat{\text{ITD}}$.
		\item Donner la valeur approchée à $1\degres$ près par défaut de la mesure de l'angle $\widehat{\text{ITD}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}