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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%pdfauthor = {APMEP},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Montpellier}
\lfoot{\small septembre 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Montpellier septembre 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip

$A$ et $B$ sont deux polynômes tels que 
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=& - 2x^3 + 8x,\\
B(x)&=&\left(x^2 - x\right)(x - 2) -2(- x + 1)(x - 2).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Développer $B(x)$.
		\item Calculer $A\left(\sqrt 2\right)$ ; en donner la valeur approchée par défaut à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item Factoriser $A(x)$ et $B(x)$.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $A(x) = 0$.
\item On donne la fonction rationnelle $F$ telle que
\[F(x) = \dfrac{A(x)}{(x - 2)(x - 1)(x + 2)}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble $E$ des réels n'ayant pas d'image par $F$.
		\item Simplifier $F(x)$.
		\item Calculer $F\left(-\dfrac12\right)$ et $F(0)$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'image de chacun des nombres $x$ de l'ensemble $\{- 3\:;\: - 2\:;\: -1\:;\: 0\:;\: 1\:;\: 2\:;\: 3\}$ pour chacune des relations suivantes :
6
\[\begin{array}{l l c l l l c l}
f :&\R&\to&\R&g :&\R&\to&\R\\
&x &\longmapsto& |2x|&&x&\longmapsto&|x - 1|.
\end{array}\]

	\begin{enumerate}
		\item On présentera tous les résultats sur un tableau.
		\item En utilisant les résultats précédents, représenter les applications $f$ et $g$ sur du papier millimétrique, (On prendra 3 cm pour l'unité en abscisse.)
		\item En déduire graphiquement les solutions de l'équation
\[f(x) - g(x) = 0.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, placer les points 
\begin{center}A(2~;~6),\qquad B$(-1~;~7)$ \quad et \quad C$(5~;~-5)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle (O, A, B) ?
\item Calculer les coordonnées du point D tel que
$\vect{\text{OD}}= \vect{\text{BA}}$.

Quelle est la nature du triangle (A, O, D) ?
\item $\Gamma$ est le cercle circonscrit au triangle (A, O, D) ; K est son centre. 

Calculer les coordonnées de K et le rayon de $\Gamma$.
\item Démontrer que la droite (OC) est tangente au cercle $\Gamma$.
\item Le cercle $\Gamma$ coupe l'axe des ordonnées $\left(\text{O},~\vect{\jmath}\right)$  en P et O.

Quelles sont les coordonnées de P ? 

Le point M est l'autre point du cercle ayant même ordonnée que P. 

Montrer que OM est un diamètre de $\Gamma$.
\item Démontrer que la droite (OA) est médiatrice de [B, M].
\end{enumerate}
\end{document}