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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\hypersetup{%
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pdftitle = {Montpellier septembre 1986},
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Montpellier}
\lfoot{\small septembre 1986}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Montpellier septembre 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

Vous êtes chargé(e) de contrôler un certain nombre de
résultats dont certains sont corrects et d'autres incorrects. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Fractions.

\emph{Attention}  Pour être correct, un résultat doit aussi être donné sous forme irréductible.

\[\dfrac{5}{12} + \dfrac49 = \dfrac{93}{108}.\]

$\square$ Correct.

$\square$ Incorrect. La réponse exacte est :

\[\dfrac{12}{35} \times \dfrac{42}{9} = \dfrac85.\]

$\square$ Correct.

$\square$ Incorrect. La réponse exacte est :
 
\[7 : \dfrac73 = \dfrac13.\]

$\square$ Correct.

$\square$ Incorrect. La réponse exacte est :

\item Calcul algébrique.

\[(x + 1)(3x - 5)- 2(x + 1) = (x + 1)(3x -7).\]

$\square$ Correct.
 
$\square$ Incorrect. La réponse exacte est :

\[(2x+ 1)(x - 2)- \left(4x^2 - 1\right) = (2x + 1)(- x - 3).\]

$\square$ Correct.

$\square$ Incorrect. La réponse exacte est :

\item Radicaux.

\[\dfrac{\sqrt{20} - \sqrt{15}}{2 \sqrt 3} = \sqrt 5.\]

$\square$ Correct.

$\square$ Incorrect. La réponse exacte est :

\[\dfrac{\sqrt 3 - 1}{5 + \sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt 3 - 11}{13}.\]

$\square$ Correct.

$\square$ Incorrect. La réponse exacte est :

\item Équations

\[5(x + 3) -7(2x - 1) = 3(1 - 4x)\]

donc $x= - \dfrac{3}{19}$.

$\square$ Correct.

$\square$ Incorrect. La réponse exacte est : $x =$

\[x - 1 - \dfrac{2x - 1}{3} = 3x + \dfrac{20}{3}.\]

donc $x = -3$.

$\square$ Correct.

$\square$ Incorrect. La réponse exacte est : $x =$

\item Fonctions

Soit $F$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie pour tout $x$ par
 \[f(x) = \dfrac{2x + 1}{2}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est une fonction affine. 
		
$\square$ Correct.

$\square$ Incorrect. En effet:

		\item Le plan est rapporté au repère \Oij.
		
		\begin{enumerate}
			\item La représentation graphique de $f$ est une droite, notée $D$. 
			
$\square$ Correct.

$\square$ Incorrect. En effet :

			\item Le point M de coordonnées: $\left(\dfrac53~;~2\right)$ appartient à $D$.
			
$\square$ Correct.

$\square$ Incorrect. En effet :

			\item La droite d'équation $y = x - 6$ est parallèle à $D$. 
			
$\square$ Correct.

$\square$ Incorrect. En effet :
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ABC un triangle. À quelle condition liant AB$^2$, AC$^2$ et
BC$^2$ peut-on affirmer qu'il est rectangle en A ?
\item $a$ et $b$ désignent deux nombres réels positifs. On suppose
$a > b$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer : $\left(a^2 + b^2\right)^2 =$

\phantom{Développer : }$\left(a^2 - b^2\right)^2 =$

\phantom{Développer : }$\left(a^2 - b^2\right)^2 +(2ab)^2 =$
		\item ABC un triangle. On suppose que les longueurs AB, AC, BC de ses côtés sont telles que :

\begin{center} AB $= a^2- b^2$\:;\quad  AC $= 2ab$\:;\quad  BC $= a^2 + b^2$.\end{center}

		\begin{enumerate}
			\item Quelle est la nature de ce triangle ? (On utilisera 2.a et 1.)
			\item Dessiner ABC lorsque : $a = 4$ et $b = 1$.
			
Soit $\widehat{\text{B}}$ l'angle en B de ce triangle.

Calculer $\cos \widehat{\text{B}}$. Donner une valeur approchée à une unité
près par défaut de la mesure en degrés de $\widehat{\text{B}}$. 

En déduire une valeur approchée à une unité près de la mesure en degrés de
$\widehat{\text{C}}$, où $\widehat{\text{C}}$ désigne l'angle en C du triangle.
 
Cette valeur approchée est-elle par excès ou par défaut ?
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Un drôle de rectangle.

ABCD est un rectangle.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.7,3.8)
\psframe(0.2,0.2)(5.4,3.2)
\psline(0.2,0.2)(5.4,3.2)
\uput[ul](0.2,3.2){A} \uput[ur](5.4,3.2){B} \uput[dr](5.4,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D}
\uput[u](2.8,3.2){$y$}\uput[r](5.4,1.7){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}

On note $S$ son aire, $P$ son périmètre et $T$ la tangente de l'angle en D du triangle BCD.

Les côtés [BC] et [AB] ont pour longueur $x$ et $y$.

On se demande s'il existe des rectangles qu'on dira \og du
troisième type \fg{} tels que : $\dfrac{P}{2} = S = T$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $S, P$ et $T$ en fonction de $x$ et $y$.
\item Quelles relations vérifient $x$ et $y$ si ABCD est un rectangle \og du troisième type \fg{} ?
\item Quels sont les nombres réels $x$ et $y$ vérifiant les relations mises en place à la question 2. ?
\item Existe-t-il des rectangles \og du troisième type \fg{} ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}















\end{document}