\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.4cm, right=3.4cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor ={APMEP},
pdfsubject ={Brevet},
pdftitle = {Montpellier septembre 1987},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Montpellier}
\lfoot{\small septembre 1987}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Montpellier septembre 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire sous forme de fraction irréductible les nombres $A$ et $B$ suivants :

\[A = 3 - \left(\dfrac12 - \dfrac13\right), \qquad  B = 3 \times \left(\dfrac12 - \dfrac13\right).\] 

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Calculer $\left(6 -2 \sqrt 3\right)^2$ et $\left(6 - 2 \sqrt 3\right)\left(6 + 2 \sqrt 3\right)$
sous la forme $p + q\sqrt 3$, où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs :

\[\left(6 -2 \sqrt 3\right)^2 = \qquad \left(6 - 2 \sqrt 3\right)\left(6 + 2 \sqrt 3\right) = \]
\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

$x$ désignant un nombre réel, on donne 

\[E = 4x^2 - 1 - 3(2x + 1)(x - 2).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $E$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré en $x$.
\item Trouver les valeurs du réel $x$ telles que $E = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Pour se rendre d'une ville A à une ville B, un automobiliste emprunte successivement l'autoroute et la route. La distance totale qu'il parcourt est de $450$~km.

Sa vitesse moyenne sur autoroute est de 120 km/h. Sa vitesse moyenne sur route est de $80$~km/h. Il effectue le trajet en $4$~heures.

Calculer la distance $x$ qu'il a parcourue sur l'autoroute et celle $y$ qu'il a parcourue sur la route.

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les points A, B, C, et D étant donnés ci-après, construire, à la règle et au compas, le point G tel que $\vect{\text{GD}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{BC}}$ (les traits de construction devront figurer sur la figure).
\item Simplifier l'écriture de la somme vectorielle $\vect{\text{AB}} + \vect{\text{BC}} + \vect{\text{CD}} + \vect{\text{DG}}$.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,5.4)
\psdots(0.2,5.2)(3.4,5)(4.8,1.8)(3,0.2)%ABCD
\uput[u](0.2,5.2){A} \uput[ur](3.4,5){B} \uput[ur](4.8,1.8){C} \uput[r](3,0.2){D} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La figure suivante représente un cube de côté $4$~cm; I est le milieu de [DC] et [B$'$C] une des diagonales du carré BB$'$C$'$C.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,4.5)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(3,3)
\psline(3,0.2)(4,1.2)(4,4)(3,3)%CC'B'B
\psline(4,4)(1.2,4)(0.2,3)%B'A'A
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.2,1.2)(4,1.2)%DD'C'
\psline[linestyle=dashed](1.2,1.2)(1.2,4)%D'A'
\psline[linestyle=dashed](4,4)(1.6,0.2)%B'I
\uput[u](0.2,3){A} \uput[ul](3,3){B} \uput[d](3,0.2){C} \uput[d](0.2,0.2){D}
\uput[u](1.2,4){A$'$} \uput[ur](4,4){B$'$} \uput[ur](4,1.2){C$'$} \uput[ul](1.2,1.2){D$'$}
\uput[d](1.6,0.2){I}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer, en centimètres, la valeur exacte de la longueur B$'$C.
\item Quelle est la nature du triangle CIB$'$ ?
\item Calculer, en centimètres, la longueur IB$'$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Observer attentivement le dessin suivant et répondre aux deux questions suivantes.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4.5,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-4,-4)(4.5,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{4.5}{x 3 add}
\psline(-4,5)(4.5,5)\uput[u](4.25,5){$d_1$}
\uput[u](4.25,7.25){\blue $d_2$}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,5)
\uput[u](4.25,0){$x$}\uput[r](0,10.75){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite $d_1$.
\item Déterminer une équation de la droite $d_2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Au fur et à mesure du déroulement du problème. la figure pourra être complétée.

\begin{center}
\psset{unit=1.6cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(3,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-1,-1)(3,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\
\psframe(2,2)
\psplot[plotpoints=500]{-1}{3}{0.5 x mul}
\psplot[plotpoints=500]{-1}{3}{2 2 x mul sub}
\uput[l](0,2){A} \uput[ur](2,2){B} \uput[dr](2,0){C} \uput[dl](1,0){D}
\uput[l](0,1){E} \uput[ul](2,1){F} \uput[ur](0.75,0.45){G} \uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{itemize}
\item OABC est un carré.
\item D est le milieu de [OC], E le milieu de [OA], F le milieu de [BC].
\item Les droites (AD) et (OF) se coupent en G.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le plan, dans cette question, est rapporté au repère \Oij, avec $\vect{\imath} = \vect{\text{OD}}$ et

$\vect{\jmath} = \vect{\text{OE}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les coordonnées des points A, F{}, E, D et B ?
		\item Démontrer que les droites (EB) et (OF) sont parallèles.
		\item Démontrer que le triangle OGD est rectangle en G (on
pourra, par exemple, utiliser les vecteurs $\vect{\text{AD}}$ et $\vect{\text{OF}}$).
	\end{enumerate}
\item Dans le triangle OFC, calculer $\tan \widehat{\text{FOC}}$.

En déduire que OG = 2GD.
\item La droite (BE) coupe la droite (AD) en H. Soit I le point défini par $\vect{\text{HI}}= \vect{\text{BC}}$.

Quelle est la nature du quadrilatère AHIO ?
\end{enumerate}
\end{document}