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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Montpellier juin 1968~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice I}

\medskip



\begin{enumerate}
\item  Calculer trois nombres $x,\: y,\: z$ respectivement proportionnels à 2, 3, 5 sachant qu'ils ont pour somme 40.
\item  Calculer trois nombres $x,\: y,\: z$ respectivement proportionnels à 2, 3, 5 sachant que 

$x - y + z = 12$.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Exercice II}

\medskip
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (2x- 1)^2 - (x - 3)^2\\
B(x)& =&2(x + 2)^2 - 6x - 12
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Écrire $A(x)$ et $B(x)$ sous forme de polynômes réduits et ordonnés.
\item Écrire $A(x)$ et $B(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré en $x$.
\item Résoudre les équations: 
	\begin{enumerate}
		\item $A(x) = 0$ ;
		\item $A(x) = B(x)$ ;
		\item $\dfrac{A(x)}{B(x)} =1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Sur une droite on place trois points consécutifs A, B et C tels que AB $= a$, BC $= 2a$, \:$a$ étant une longueur donnée.

On trace le cercle de diamètre [BC], de centre O.

Par A, on trace une droite A$x$ tangente en T au cercle.

Cette droite coupe les tangentes en B et C au cercle respectivement en M et N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'angle $\widehat{\text{MON}}$ est droit.
		\item Montrer que MN = BM $+$ CN et que BM $\cdot$ CN $= a^2$.
		\item Calculer AT en fonction de $a$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les triangles AOT et AMB sont semblables et calculer AM et BM en fonction de $a$.
		\item Calculer CN en fonction de $a$.
	\end{enumerate}
\item On ne conserve plus l'hypothèse AB $= a$ ; déterminer alors la
position du point A sur la droite (BC) pour que CN $= 2$BM.
\end{enumerate}
\end{document}