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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Montpellier}
\lfoot{\small juin 1977}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Montpellier juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

Soit l'application $T$ de $\R^* \times \R^*$ dans $\R$ telle que :
\[T (a~;~b) = \dfrac 1a + \dfrac1b.\]
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $T(-2~;~3) ;\: T\left(\dfrac43~;~-\dfrac85\right) ;\:T\left(\sqrt 3~;~\sqrt 2 - \sqrt 3\right)$.
\item Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ telle que :
\[f(x) =\dfrac{1}{x + 1}  + \dfrac{1}{x - 1}.\]

Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
\item Soit $g$ la fonction de $\R$ dans $\R$ telle que :
\[g(x) = \dfrac{3x}{ (x + 1)(2x + 5) - 2x - 2}.\]

Déterminer l'ensemble de définition de $g$.
\item Soit $h$ la fonction de $\R$ dans $\R$ telle que:
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition de $h$.

		\item Simplifier $h(x)$. (On trouvera $h(x) = \dfrac{2(2x + 3)}{3 (x - 1)}$.
		\item Calculer $h\left(- \sqrt 2\right)$.
		\item En utilisant l'encadrement à $10^{-3}$ près de $\sqrt 2$ déduit de la table, déterminer l'encadrement à $10^{-2}$ près de $h\left(- \sqrt 2\right)$.
		\item Résoudre dans $\R$ les équations suivantes:

\[h(x) = 1, \qquad  h(x) = - \dfrac13.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

AB désigne la distance des deux points A et B ; on peut noter aussi cette distance : $d$(A, B).

L'unité de longueur est le centimètre.

Construire un rectangle (A, B, C, D) tel que le côté [AB] ait pour mesure 2 et la diagonale [BD] pour mesure 4.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AD.
\item On appelle $\Delta$ la droite support de la diagonale [BD] , A$'$ et C$'$ les images respectives de A et C par la symétrie orthogonale d'axe $\Delta$.

I est le point d'intersection de $\Delta$ et de la droite (AA$'$), J est le point d'intersection de $\Delta$ et de la droite (CC$'$).

Démontrer que : AB = BA$'$ = CD = C$'$D

\phantom{Démontrer que :} A$'$C = AC$'$.

Démontrer l'égalité: $\dfrac{\text{BI}}{\text{BA}} = \dfrac{\text{BA}}{\text{BD}}$.


En déduire BI $= 1$.

Montrer de même que DJ $= 1$ et calculer IJ.
\item Montrer qu'il existe un nombre réel $k$ tel que $\vect{\text{BI}} = k \vect{\text{BD}}$,et calculer la valeur de $k$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les images, par la symétrie d'axe $\Delta$,des sommets du triangle (A, B, D) ?
		
Quelle est la nature du triangle (A$'$, B, D) ?

Calculer les écarts angulaires de ses angles.
		\item Montrer que les points A, B, A$'$, C, D, C$'$ sont sur un même cercle dont on précisera le centre et calculera le rayon.
	\end{enumerate}
\item Montrer que JC$' =$ JC = AI.

Quelle est la nature du quadrilatère (A, I, J, C$'$) ?

Calculer AC$'$.
\end{enumerate}
\end{document}