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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small septembre 1998}
\lfoot{\small Montpellier}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Montpellier septembre 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer:

\[A = \dfrac73 - \dfrac53 \times \dfrac23 \quad \text{et} \quad B = \sqrt{200} - 4\sqrt{3} \times \sqrt{6}\]

($B$ doit être écrit sous forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers, $b$ étant le plus petit possible).

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Résoudre le système d'équations:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x+y&=&90\\
30x + 40y &=& \np{2000}
\end{array}\right.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
On donne: 

$f(x) =x+2, \quad  g(x) = 2, \quad h(x) =2x$

\begin{enumerate}
\item Parmi les quatre droites tracées ci-contre, trois d'entre elles représentent les fonctions $f$, $g$ et $h$.

Laquelle représente $f$? 

Laquelle représente $g$ ?

 Laquelle représente $h$ ?
\item Parmi ces fonctions l'une est linéaire, laquelle ? 

Lesquelles sont affines ?
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(4,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-4)(4,5)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-2}{1.5}{x 1 add}\uput[dr](-2,-1){$d_2$}%d2
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-2}{3}{1} \uput[ul](-2,1){$d_1$}%d1
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-1.5}{2}{x 2 mul}\uput[dr](-1.5,-3){$d_4$}%d4
\psline[linewidth=1.25pt](1,-3)(1,3)\uput[r](1,-3){$d_3$}%d3
\uput[u](3.85,0){$x$}\uput[r](0,4.85){$y$}\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Laquelle de ces surfaces hachurées a pour aire: $25 - (x + 3)^2$ ?

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 2}
\begin{pspicture}(10,3.8)
%\psgrid
\psframe[fillstyle=vlines](1,0.4)(3.4,2.8) \psframe(1,0.4)(1.2,0.6)\psframe(1,2.8)(1.2,2.6)\psframe(3.4,2.8)(3.2,2.6)\psframe(3.4,0.4)(3.2,0.6)
\psframe(0.6,0.4)(3.4,3.2)\psframe(0.6,0.4)(0.8,0.6) \psframe(0.6,3.2)(0.8,3)
\psframe(3.4,3.2)(3.2,3)
\psline{<->}(1,0.2)(3.4,0.2)\uput[d](2.2,0.2){5}
\psline{<->}(0.6,3.4)(3.4,3.4)\uput[u](2,3.4){$x+3$}
\psline{<->}(0.4,0.4)(0.4,3.2)\rput{90}(0.2,1.8){$x+3$}
\psline{<->}(3.5,0.4)(3.5,2.8)\rput{90}(3.7,1.6){$5$}
%%
\psframe[fillstyle=vlines](4.1,0.4)(6.5,2.8) \psframe(4.1,0.4)(4.3,0.6)
\psframe(4.1,2.8)(4.3,2.6)\psframe(6.5,2.8)(6.3,2.6)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](5,0.4)(6.5,1.9)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](6,1.9)(6.5,2.4)
\psline{<->}(5,0.2)(6.5,0.2)\uput[d](5.75,0.2){3}
\psline{<->}(4.1,2.9)(6.5,2.9)\uput[u](5.3,2.9){$5$}
%\psline{<->}(3.9,0.4)(3.9,2.8)\rput{90}(3.7,1.6){$5$}
\psline{<->}(6.6,0.4)(6.6,1.9)\rput{90}(6.7,1.15){3}
\psline{<->}(6.6,1.9)(6.6,2.4)\rput{90}(6.8,2.15){$x$}
%%
\psframe[fillstyle=vlines](7.2,0.4)(9.6,2.8)
\psframe(7.2,2.8)(7.4,2.6)\psframe(9.6,2.8)(9.4,2.6)\psframe(9.6,0.4)(9.4,0.6)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](7.2,0.4)(9.2,2.4)
\psline{<->}(7.2,0.2)(9.2,0.2)\uput[d](8.2,0.2){$x+3$}
\psline{<->}(7.5,0.4)(7.5,2.4)\rput{90}(7.7,1.4){$x+3$}
\psline{<->}(9.8,0.4)(9.8,2.8)\uput[r](9.8,1.6){$5$}
\psline{<->}(7.2,2.9)(9.6,2.9)\uput[u](8.4,2.9){$5$}
%%
\psframe(6.5,0.4)(6.3,0.6)
\psframe(7.2,0.4)(7.4,0.6)
\end{pspicture}
\end{center}

\item On pose $E =(25 - (x + 3)2$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $E$.
		\item Factoriser $E$.
		\item Calculer $E$ pour $x = \sqrt 2$, puis en donner la troncature à $0,01$ près.
		\item  Résoudre l'équation: $(2 - x)(x + 8) = 0$.
		
Expliquer, en utilisant la question a., pourquoi l'une des solutions de l'équation était prévisible.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
Une pyramide régulière est représentée ici en perspective:

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Sur le solide SABCB : nommer les arêtes de même
longueur que [SA].

Quelle est la nature de la face ABCD ?
Expliquer.
	\item Calculer le volume de la pyramide SABCD.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.3,5.2)
\psline(2.1,4.3)(0.2,0.2)(3,0.2)(4,2)(2.1,4.3)(3,0.2)%SADCSD
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.2,2)(4,2)%ABC
\psline[linestyle=dashed](1.2,2)(2.1,4.3)(2.1,1.1)(2.5,1.1)%BSH
\psline(2.1,1.3)(2.3,1.3)(2.3,1.1)
\uput[l](0.2,0.2){A} \uput[dr](1.2,2){B} \uput[r](4,2){C}
\uput[r](3,0.2){D} \uput[u](2.1,4.3){S} \uput[d](2.1,1.1){H}
\psline{<->}(0.2,0)(3,0)\uput[d](1.6,0){4 cm}
\rput(3.4,3.9){SH = 5 cm}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
Un câble de $20$~m de long est tendu entre le sommet d'un poteau vertical et le sol horizontal.

Il forme un angle de $40\degres$ avec le sol (voir schéma).
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.3,2.5)
\psline(0,0.3)(4.3,0.3)\uput[d](2.15,0.3){sol}
\psline(0.9,0.3)(3.2,2.4)(3.2,0.3)
\psarc(0.9,0.3){0.4}{0}{40}
\rput(1.7,0.5){$40\degres$}
\rput{90}(3.4,1.35){poteau}
\rput{40}(2,1.6){câble}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Calculer la hauteur du poteau.
\item Représenter la situation par une figure à l'échelle 1/200 (le données de la situation doivent être placées sur la figure).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

(O, I, J) est un repère orthonormal du plan tel que : OI = 1 cm et OJ = 1 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer le repère et ses axes ainsi que les points :

\begin{center}A(3~;~12), \qquad  B$(11~;~- 6)$ \quad et \quad P(7~;~3)\end{center}

Démontrer que A et B sont symétriques par rapport à P.
\item Tracer la droite $d$ d'équation: $y = x$.

Démontrer que le point P n'est pas sur la droite $d$.
\item Calculer le coefficient directeur de la droite (AB).

Les droites $d$ et (AB) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.

Les points A et B sont-ils symétriques par rapport à la droite $d$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\textbf{Préliminaire}

\medskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\begin{enumerate}
\item D'après la figure ci-contre: 

Tracer ABCP en respectant les données suivantes:

AB = 6 cm ; \quad BC = 8 cm

BM = 3 cm  \quad (CP)//(AB)
\item Mesurer les angles $\widehat{\text{BAM}}$ et $\widehat{\text{MAC}}$. 


Pourquoi ces mesures ne permettent-elles pas d'affirmer que (AM) est la bissectrice de $\widehat{\text{BAC}}$ ?
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.31\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,3.4)
\pspolygon(0.2,2.8)(2.2,2.8)(2.2,0.2)(4.2,0.2)%ABCP
\psline(0.2,2.8)(2.2,0.2)%AC
\uput[ur](2.2,1.5){M}\uput[ul](0.2,2.8){A}\uput[u](2.2,2.8){B}
\uput[d](2.2,0.2){C}\uput[dr](4.2,0.2){P}
\psframe(2.2,2.8)(2,2.6)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En considérant le triangle ABL:
	\begin{enumerate}
		\item Calculer AC.
		\item Calculer $\widehat{\text{BAC}}$ et $\widehat{\text{SAM}}$ le plus précisément possible.

Expliquer pourquoi les valeurs obtenues ne permettent pas d'affirmer que (AM)est la bissectrice de $\widehat{\text{BAC}}$.
	\end{enumerate}
\item En considérant les triangles ABM et MCP{}, calculer CP.
\item Quelle est la nature de ACP ? Que peut-on en déduire pour $\widehat{\text{MAC}}$ et $\widehat{\text{CPM}}$ ? 
\item Démontrer alors que $\widehat{\text{MAC}} = \widehat{\text{BAM}}$ et donc que (AM) est bien la bissectrice de $\widehat{\text{BAC}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item (AM) est, d'après la partie A la bissectrice de $\widehat{\text{BAC}}$.

Sur la figure tracée à la première question du préliminaire :
\begin{itemize}
\item tracer la bissectrice, $d$, de $\widehat{\text{ABM}}$.
\item nommer O le point d'intersection de la droite $d$ et de la droite (AM).
\item tracer la hauteur issue de O du triangle AOB et la hauteur issue de O du triangle BOM.

\emph{Ces hauteurs sont des rayons du cercle inscrit dans le triangle BAC.}
\item tracer ce cercle.
\end{itemize}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du triangle ABM.
		\item Exprimer l'aire du triangle AOB et l'aire du triangle BOM en fonction du rayon$ $r du cercle inscrit dans le triangle BAC.
		\item Trouver une relation entre ces trois aires.En déduire le rayon $r$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}