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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Montréal et New York}
\lfoot{\small juin 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Montréal et New York juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire le polynôme $f(x)$ défini par

\[f(x) = \left(x - \sqrt 2\right) - \left(x - \sqrt 2\right)^2 + x\left(x - 2\sqrt 2\right).\]

\item Résoudre dans $\R$ J'équation $f(x) = 0$.
\item Soit $q$ la fonction rationnelle définie dans $\R$ par

\[q(x)= \dfrac{x^2 - 4}{x\left(x - \sqrt 2\right)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_q$ de $q$.
		\item Résoudre, dans $\mathcal{D}_q$, l'équation $q(x) = 1$.
		\item Calculer $q\left(1 + \sqrt 2\right)$ et écrire le résultat sous la forme $a + b\sqrt 2$, avec $(a~;~b) \in \Z \times \Z$.

Sachant que $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$, calculer la valeur approchée par défaut à $10^{-2}$ près de $q\left(1 + \sqrt 2\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction polynôme $f$ ainsi définie 

\[\begin{array}{l l c l}
f :&\R&\to&\R\\
&x &\longmapsto &(3-2x)(7x + 1) - \left(9 - 4x^2\right) + (3-2x)^2.
\end{array}\]

Écrire $f$ sous la forme d'un produit de fonction polynômes de degré 1.
\item Calculer les images par $f$ des réels $\dfrac32\:;\: -1,3\:; \: - \dfrac13$.

L'application $f$ est-elle une bijection sur $\R$ ?

Pourquoi?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij, placer les points A, B et C définis par

\begin{center} $\vect{\text{OA}} = 3\vect{\imath} + 11\vect{\jmath},\quad \vect{\text{OB}} = - 7\vect{\imath} + \vect{\jmath}$,\quad et \quad $\vect{\text{OC}} = 5\vect{\imath} + 5\vect{\jmath}$\end{center}

(on prendra comme unité de longueur 0,5 cm).
\item Calculer les coordonnées du milieu, I du segment [AB].
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le triangle (A, B, C) est un triangle rectangle.
		\item En déduire que les points A, B et C appartiennent à un cercle $(\mathcal{C})$, dont on déterminera le centre et le rayon.
	\end{enumerate}	
\item Montrer que (O, B, I, C) est un losange.
\item Soit $(\Delta)$ et $(\Delta')$ les droites d'équations respectives :

\[(\Delta)\quad x + y + 6 = 0,\qquad (\Delta') \quad 7x - y - 30 = 0.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que B est un élément de $(\Delta)$ et que C est un élément de $(\Delta')$.
		\item Calculer les coordonnées du point J intersection
de $(\Delta)$ et de $(\Delta')$.

Tracer J, $(\Delta)$ et  $(\Delta')$ sur la figure.
	\end{enumerate}
\item Montrer que les droites (BJ) et (BI) sont perpendiculaires ainsi que les droites (CI) et (CJ).

Que représentent les droites $(\Delta)$ et  $(\Delta')$ pour le cercle
$(\mathcal{C})$ ?
\end{enumerate}
\end{document}