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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Émirats arabes unis}} 
\lfoot{\small{Moyen-Orient}} 
\rfoot{\small{juin 2005}} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2005 \decofourright\\[5pt] 
Moyen--Orient}} \end{center} 

\vspace{0,8cm} 

Calculatrice autorisée \hfill 2 heures 

\vspace{0,5cm} 

\begin{center} 

\textbf{Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la 
présentation (4 points)} 

\end{center} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 1}

\textbf{Dans cet exercice, les longueurs sont exprimées en centimètre. Répondre aux questions en détaillant les calculs.}

La relation entre la longueur $c$ du côté d'un carré et la longueur $d$ de sa diagonale est donnée par la formule : 

$d = c\sqrt{2}$.

\begin{enumerate}
\item La longueur du côté d'un carré est $\sqrt{8} + \sqrt{2}$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la longueur de sa diagonale est un nombre entier.

		\item Montrer que l'aire en cm$^2$ de ce carré est un nombre entier.

	\end{enumerate}

\item La longueur de la diagonale d'un autre carré est $\sqrt{40}$.

Calculer la longueur de son côté et exprimer cette longueur sous la forme $a\sqrt{5}$, où $a$ est un nombre entier naturel.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2}

La masse d'un atome de carbone est égale à $1,99 \times  10^{-26}$ kg. Les chimistes considèrent des paquets contenant $6,022~\times~10^{23}$ atomes.

\begin{enumerate}
\item Calculer la masse en gramme d'un tel paquet d'atomes de carbone. 

\item Donner une valeur arrondie de cette masse à un gramme près.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 3}

Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte.

\textbf{Répondre à cet exercice en utilisant le tableau figurant sur la feuille annexe : pour chaque ligne, indiquer la lettre correspondant à la réponse choisie.}

\textbf{Aucune justification n'est demandée.}

Le barème de cet exercice est le suivant : pour chaque ligne, 1 point pour une réponse correcte, $- 0,5$ point pour une réponse fausse, $0$ point s'il n'y a pas de réponse.

Si le total des points pour l'exercice est négatif, l'exercice est noté 0 point.

\vspace{0,4cm}

\hspace*{-1.1cm}{\footnotesize\begin{tabular}{|*{5}{c|}}\cline{3-5}
\multicolumn{2}{c|}{}&Réponse A&	Réponse B&	Réponse C\\\hline
\No  1&$	(3x-2)^2$ est égale à&	$9x^2 -4$&	$9x^2 -6x + 4$& 	$9x^2 -12x + 4$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\\hline
&Une expression factorisée de& & & \\
\No  2&	$(5x-1)^2 -9$ est&	$(5x+2)(5x-4)$&	$(5x - 10)^2$&	$(5x - 10)(5x+8)$\\\hline
&Les solutions de l'équation & & & \\
\No  3&$-2x(3x+4) = 0$ sont &$2$ et 	$-\dfrac{4}{3}$&$-\dfrac{1}{2}$  et	$\dfrac{4}{3}$&$0$ et   $-\dfrac{4}{3}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\\hline
&La partie en gras non & & & \\
&	hachurée représente les & & & \\
\No  4& 		solutions de l'inéquation &\psset{unit=0.2cm}\begin{pspicture}(-5,0)(10,0.2)\psline(-5,0)(10,0)
\multips(-5,0)(0.5,0){20}{\psline(0.4,0.4)(-0.4,-0.4)}\psline[linewidth=1.5pt](5.4,0.4)(5,0.4)(5,-0.4)(5.4,-0.4) \uput[u](5,0){5}\uput[u](0,0){0}\psline(0,0.4)(0,-0.4) \end{pspicture}  & \psset{unit=0.2cm}\begin{pspicture}(-5,0)(10,0.2)\psline(-5,0)(10,0)
\multips(5,0)(0.5,0){11}{\psline(0.4,0.4)(-0.4,-0.4)}\psline[linewidth=1.5pt](4.6,0.4)(5,0.4)(5,-0.4)(4.6,-0.4) \uput[u](5,0){5}\uput[u](0,0){0}\psline(0,0.4)(0,-0.4) \end{pspicture}  &\psset{unit=0.2cm}\begin{pspicture}(-10,0)(0,0.2)\psline(-10,0)(0,0)
\multips(-10,0)(0.5,0){11}{\psline(0.4,0.4)(-0.4,-0.4)}\psline[linewidth=1.5pt](-4.6,0.4)(-5,0.4)(-5,-0.4)(-4.6,-0.4) \uput[u](-5,0){$-5$}\uput[u](0,0){0}\psline(0,0.4)(0,-0.4) \end{pspicture}   \\
&	$5x - 10 \geqslant 2x + 5$ & & & \\ \hline
 & Le système 	$\left\{\begin{array}{l c l}
 2x -y&=& 2\\
 x + y & = & 5\\
 \end{array}\right.$&$(1~ ;~ -4)$ & $(-1~;~ -4)$ & $(-1 ; 4)$\\
\No 5&	a pour solution& & & \\ \hline
 \end{tabular}}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques }\hfill 12 points} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1} 

\textbf{Pour cet exercice, compléter la figure donnée sur la feuille annexe.}

On a placé trois points A, B et C.

\begin{enumerate}
\item Construire le point E tel que ABEC est un parallélogramme.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point F tel que $\vect{\text{BF}} = \vect{\text{BA}} + \vect{\text{BC}}$.

		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCF ? On ne demande pas de justification.

	\end{enumerate}

\item Démontrer que $\vect{\text{FC}} = \vect{\text{CE}}$. Que peut-on en déduire pour le point C ?

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2}

\vspace{0,25cm}

\parbox[l]{0.5\textwidth}{ \textbf{La figure n'est pas faite en vraie grandeur.\\
Elle n'est pas à reproduire.}\\
ABC est un triangle tel que :\\
AB = 8 cm, AC = 6,4cm et \\BC = 4,9 cm.\\
 Le point E appartient à la demi-droite [AB) et AE = 12 cm.\\
  Le point F appartient à la demi-droite [AC) et AF = 9,6 cm.\\
\begin{enumerate}\item Le triangle ABC est-il un triangle rectangle Justifier la réponse.

\item Les droites (BC) et (EF) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.

\end{enumerate} }\hfill
\parbox[l]{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(9,5.5)
\psline(6.7,0)(0.2,3.9)(8.7,4.9)
\psline(3,0)(6,5)
\psline(5.65,0)(8.8,5.3)
\uput[ul](0.2,3.9){A} \uput[ul](5.8,4.6){B} \uput[l](4,1.6){C}
 \uput[ul](8.6,4.9){E} \uput[l](5.95,0.4){F} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 3}

\textbf{La figure n'est pas faite en vraie grandeur. Elle n'est pas à reproduire.}

ABC est un triangle rectangle en R. La droite passant par A et perpendiculaire à la droite (AC) coupe la droite (HC) en B.

On sait que : AH = 4,8 cm et HC = 6,4cm.

\parbox[l]{0.5\textwidth}{\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}\item Justifier l'égalité :	\\$\widehat{\text{ACH}} =  90\up{o}  -  \widehat{\text{HAC}}$.
\item Justifier l'égalité : \\$\widehat{\text{BAH}} =  90\up{o}  -  \widehat{\text{HAC}}$.
\item Que peut-on en déduire pour les angles $\widehat{\text{ACH}}$ et $\widehat{\text{BAH}}$ ?
\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\tan \widehat{\text{ACH}} = \dfrac{3}{4}$.
		\item En utilisant le triangle BAH, exprimer  $\tan \widehat{\text{BAH}}$	en fonction de BH.
	\end{enumerate}
\item Déduire des \textbf{questions 1} et \textbf{2} que BH = 3,6 cm.
\item Calculer la mesure en degré arrondie au degré de l'angle  $\widehat{\text{ACH}}$.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox[l]{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(9,5)
\psline(0,1)(9,1)
\psline(0.2,0.3)(3.45,4.6)(8.2,1)
\psline(3.45,4.6)(3.45,1)
\psframe(3.45,1)(3.7,1.25)
\psline(3.25,4.34)(3.5,4.15)(3.7,4.45)
\uput[ul](3.45,4.6){A} \uput[dr](0.8,1){B} \uput[dr](8.3,1){C} \uput[d](3.45,1){H} 
\end{pspicture}}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} 

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie 1}

\vspace{0,25cm}
\parbox[l]{0.7\textwidth}{\textbf{ La figure construite ci-contre n'est pas en vraie grandeur. Elle n'est pas à reproduire.}

RAB est un triangle rectangle en A tel que AE = 48 cm et AB =  16 cm.

Le point D appartient su segment [AE] et AD = 12 cm.

 La parallèle a la droite (AB) passant par D est sécante à la droite (BE) au point C.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur du segment [BE].
		 
		\item Écrire cette longueur sous la forme $a\sqrt{10}$, où $a$ est un nombre entier naturel.
	\end{enumerate}
\item Calculer ED puis monter que DC = 12 cm.\\
\item Calculer les aires des triangles EDC et EAB,
\item En déduire que l'aire du quadrilatère ABCD est égale à 168 cm$^2$.
\item Le quadrilatère ABCD est la hase d'un prisme droit de hauteur CH égale à 5 cm. Ce prisme est représenté ci-contre. Calculer son volume.\end{enumerate}}\hfill
\parbox[l]{0.25\textwidth}{\begin{pspicture}(3,10.5)
\pspolygon(0,0)(2.6,0)(2,1.95)(0,1.95)%ABCD
\psline(2,1.95)(2.3,2.6)(0.4,2.6)(0,1.95)%CH?D
\psline(2.6,0)(3,0.6)(2.3,2.6)%B?H
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0.4,0.6)(0.4,2.6)
\psline[linestyle=dashed](0.4,0.6)(3,0.6)
\pspolygon(0.4,10.3)(0.4,3.7)(2.6,3.7)%EAB
\psline(0.4,5.4)(2,5.4)%DC
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](2.6,0){B} \uput[dl](2,1.95){C} \uput[dl](0,1.95){D} 
\uput[ur](2.3,2.6){H} \uput[dl](0.4,3.7){A} \uput[dr](2.6,3.7){B} \uput[ur](2,5.4){C} 
\uput[ul](0.4,5.4){D} \uput[r](0.4,10.3){E} 
\end{pspicture}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie 2}

Monsieur Brico veut paver une allée de jardin avec des dalles ayant la forme du prisme défini dans la \textbf{question 5} de la \textbf{partie 1}.

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre minimum de dalles nécessaires pour recouvrir l'allée dont l'aire est 10 m$^2$.
 
\item Monsieur Brico prévoit 15\:\% de dalles de plus que ce nombre minimum pour tenir compte des pertes dues aux découpes. Combien prévoit-il de dalles ?
 
\item Les dalles sont vendues par lot de 60. Combien de lots monsieur Brico a-t-il achetés ?
 
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie 3}

\textbf{ Dans cette partie, aucune justification n'est demandée.}

\parbox[l]{0.5\textwidth}{ La figure ci-contre montre une vue de dessus du début du pavage.

Les dalles sont posées sur la face ABCD.

Recopier et compléter les phrases ci-dessous en utilisant
une des trois transformations suivantes :
symétrie axiale d'axe \ldots \ldots, translation	de vecteur \ldots \ldots ou
symétrie centrale de centre \ldots ,
et en précisant l'axe, le vecteur et le centre.

 \begin{enumerate}
 \item Le quadrilatère \ding{188} est l'image du quadrilatère \ding{191} par la \ldots \ldots 
 \item Le quadrilatère \ding{190} est l'image du quadrilatère \ding{182} par la \ldots \ldots.
 \item Le quadrilatère \ding{185} est l'image du quadrilatère \ding{182} par la \ldots \ldots.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox[r]{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(6.5,6)%\psgrid[subgriddiv=10]
\psframe(0,0)(6.5,6)
\psline(0,1.5)(6.5,1.5)
\psline(0,3)(6.5,3)
\psline(0,4.5)(6.5,4.5)
\psline(3.25,0)(3.25,6)
\psline(1.4,0)(1.85,1.5)(1.4,3)(1.85,4.5)(1.4,6)%?QLBC
\psline(5.1,0)(4.65,1.5)(5.1,3)(4.65,4.5)(5.1,6)%?SHIF
\rput(0.7,5.1){\ding{182}} \rput(2.3,5.1){\ding{183}}  \rput(3.7,5.1){\ding{184}} \rput(5.6,5.1){\ding{185}}   
\rput(0.7,3.6){\ding{186}}  \rput(2.3,3.6){\ding{187}} \rput(3.7,3.6){\ding{188}} \rput(5.6,3.6){\ding{189}} 
\rput(0.7,2.2){\ding{190}} \rput(2.3,2.2){\ding{191}} 
\uput[l](0,4.5){A} \uput[dr](1.9,4.5){B} \uput[u](1.4,6){C} \uput[ul](0,6){D} 
\uput[u](3.25,6){E} \uput[u](5.1,6){F} \uput[ur](6.5,6){G} \uput[ul](3.25,4.5){H} 
\uput[ul](4.65,4.5){I} \uput[r](6.5,4.5){J} \uput[l](0,3){K} \uput[ul](1.4,3){L} 
\uput[ul](3.25,3){M} \uput[ur](5.1,3){N} \uput[r](6.5,3){O} \uput[l](0,1.5){P} 
\uput[dr](1.9,1.5){Q} \uput[ul](3.25,1.5){R} \uput[ul](4.65,1.5){S} \uput[r](6.5,1.5){T} \end{pspicture}}

\newpage

\begin{center} \textbf{ANNEXE ( à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

\end{center}

\textbf{Activités numériques}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

Dans la colonne de droite, indiquer pour chaque ligne la réponse choisie : A, B ou C.

\vspace{0,5cm}

\begin{center}

\begin{tabular}{|>{\centering}p{1.5cm}| p{2.5cm}|}\cline{2-2}
\multicolumn{1}{c|}{}& Réponse choisie\\\hline
\No 1 & \\\hline
\No 2 & \\\hline
\No 3 & \\\hline
\No 4 & \\\hline
\No 5 & \\\hline
\end{tabular}

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Activités géométriques}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1}

\begin{center}\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(20,12)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(20,12)
\def\croix{\psline(-0.2,0.2)(0.2,-0.2) \psline(-0.2,-0.2)(0.2,0.2)}
\rput(6,5){\croix} \rput(10,7){\croix} \rput(13,4){\croix} 
\uput[ul](6,5){A} \uput[ur](10,7){B} \uput[dr](13,4){C} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}