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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Moyen Orient}
\lfoot{\small juin 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Moyen Orient juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\bigskip

On donne
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=&(1-x)(x + 3) + (2x - 3)(2 - 2x), \\
g(x) &=&(4x - 1)^2 -(x - 2)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ et $g(x)$.
\item Calculer $f(0,1)$ et $g\left(- \dfrac23\right)$.
\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
\item On considère la fraction rationnelle 
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Quel est son domaine de définition ?
		\item Simplifier $h(x)$.
		\item Calculer $h\left(\sqrt 3\right)$. (On donnera le résultat avec un
dénominateur rationnel.)
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $h(x) = 1$.
	\end{enumerate}	
\item Dans un repère \Oij, tracer les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ qui ont respectivement pour équation
\begin{center}$y = 1- x$\quad et \quad $y = 3x + 1$.\end{center}

Calculer les coordonnées du point d'intersection de
$\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$.

Quel lien peut-on faire avec la question 4. d. ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\bigskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} on considère les point
\begin{center}A$(2~;~-3)$\quad;\quad B$(-4~;~6)$\quad; \quad C$(5~;~-1)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points O, A et B sont alignés.
\item Calculer les distances $d$(A, B), $d$(A, C) et $d$(B, C). En déduire que le triangle (A, B, C) est un triangle rectangle.
\item Calculer les coordonnées du point D tel que (A, B, D, C) soit un parallélogramme.

Quelle est, en fait, la nature du quadrilatère (A, B, D, C) ?
\item Démontrer que les quatre points A, B, C et D appartiennent à un cercle dont on précisera le centre et dont on calculera le rayon.
\item Calculer la tangente de l'écart angulaire de l'angle
$\widehat{\text{OCA}}$.

Quelle est la valeur en degré de cet écart angulaire ?
\end{enumerate}



\end{document}