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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1995}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Moyen-Orient juin 1995 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer A, B, C. Les résultats seront écrits sous la forme de fractions aussi simples que possible.

\[A = \dfrac34  - \dfrac34  \times \dfrac89 ;\quad  B = \dfrac53 \times \dfrac35  + \dfrac{16}{45} \times \dfrac32 ;\quad C = 1 + \dfrac12 - \dfrac13.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $D = \sqrt{12}- \sqrt{75} -2 \sqrt{27}$.

Ecrire $D$ sous la forme $a \sqrt{3}$ où $a$ est un entier.
\item $E = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{11}$ et $F =  3\sqrt{5} + 2\sqrt{11}$. 

Écrire et calculer le produit des nombres $E$ et $F$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un bassin est alimenté par deux fontaines dont le débit horaire est constant.

Si on laisse couler la première fontaine pendant quatre heures et la seconde pendant trois heures, la quantité d'eau recueillie au total est de 55 litres.


Sachant que ce bassin peut contenir 320 litres, combien faudra-t-il de temps pour le remplir, si les deux fontaines coulent ensemble pendant le même temps ?

Si on laisse couler la première fontaine pendant trois heures et la seconde pendant quatre heures, la quantité d'eau recueillie au total est de 57 litres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désire calculer le débit, en litre par heures, de chacune des fontaines.

Pour cela, on admet que les renseignements précédents sont traduits par le système de deux équations à deux inconnues :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
4x + 3y &=& 55\\
3x + 4 y&=& 57
\end{array}\right.\]

où $x$ est le débit horaire de la première fontaine et $y$ est le débit horaire
de la seconde fontaine.

Résoudre le système et indiquer le débit horaire de chacune des
deux fontaines.
\item  Sachant que ce bassin peut contenir $320$ litres, combien faudra-t-il de temps pour le remplir, si les deux fontaines coulent ensemble pendant le même temps ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Une boîte en carton a la forme représentée ci-dessous :

$\bullet~~$ABCDA$'$B$'$C$'$D$'$ est un cube de $6$~cm d'arête ;

$\bullet~~$SABCD est une pyramide régulière dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(9.5,11.5)
\psframe(0.5,0.5)(5.6,5.6)%A'B'BA
\psline(5.6,0.5)(8.1,2.5)(8.1,7.6)(5.6,5.6)%B'C'CB
\psline(8.1,7.6)(4.3,10.7)(5.6,5.6)%CSB
\psline(4.3,10.7)(0.5,5.6)%SA
\pspolygon[linestyle=dashed](0.5,5.6)(3,7.6)(8.1,7.6)%ADC
\psline[linestyle=dashed](3,2.5)(3,7.6)(4.3,10.7)%D'DS
\psline[linestyle=dashed](5.6,5.6)(3,7.6)(4.3,10.7)(4.3,6.6)%BDSH
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(3,2.5)(8.1,2.5)%A'D'C'
\uput[l](0.5,5.6){A} \uput[r](5.6,5.6){B} \uput[r](8.1,7.6){C} \uput[ul](3,7.6){D}
\uput[dl](0.5,0.5){A$'$} \uput[dr](5.6,0.5){B$'$} \uput[r](8.1,2.5){C$'$} \uput[l](3,2.5){D$'$}
\uput[d](4.3,6.6){H} \uput[u](4.3,10.7){S} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur AC.
\item Démontrer que le triangle SAC est rectangle.
\item Calculer la hauteur SH de la pyramide SABCD.

Montrer que SH peut s'écrire $3\sqrt 2$.
\item Calculer le volume de la boîte arrondi au cm$^3$ le plus proche.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Tracer un triangle ABC.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point E tel que $\vect{\text{EA}} = \vect{\text{BC}}$.
\item Construire le point D tel que $\vect{\text{BA}} + \vect{\text{BC}} = \vect{\text{BD}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

ABC est un triangle tel que, en centimètres :

\begin{center}AB $= 4$ ;\quad  BC $= 7$ ; \quad  AC $= 5$.\end{center}

Sur le côté [AB], on place le point M tel que AM $= 3$ cm.

La parallèle à (BC) passant par M coupe le côté [AC] en P.

Calculer MP.

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Deux villes A et B sont distantes de 92 km.

Un motocycliste part de A et se dirige vers B à la vitesse de 54 km/h.

Au même moment, un automobiliste quitte la ville B pour se rendre en A : il roule à la vitesse de 84 km/h. (Ces vitesses sont supposées constantes durant tout le trajet.)

(Formule : distance parcourue = vitesse × durée du parcours.)

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À quelle distance de la ville A se trouve le motocycliste 10 minutes après son départ ? une demi-heure après son départ ? 40 minutes après son départ ?
		\item À quelle distance de la ville A se trouve l'automobiliste 10 minutes après son départ ? une demi-heure après son départ ? 40 minutes après son départ ?
	\end{enumerate}	
\item Montrer que 54 km/h correspondent à  0,9 km/min.

De la même façon, exprimer 84 km/h en km/min.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Le motocycliste a roulé pendant $x$ minutes. Exprimer à l'aide de $x$ la distance le séparant de la ville A.
		\item L'automobiliste a également roulé pendant $x$ minutes. Montrer que la distance le séparant de la ville A est égale à $92 - 1,4 x$.
		\item En déduire l'instant où les deux véhicules vont se croiser.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal.

$\bullet~~$Sur l'axe des abscisses, où sont repérées les durées, 1 cm représente $10$ minutes.

$\bullet~~$Sur l'axe des ordonnées, où sont repérées les distances, 1 cm représente $10$ kilomètres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $\left(D_1\right)$ d'équation $y = 0,9 x$, puis la droite $\left(D_2\right)$ d'équation 

$y = - 1,4 x + 92$.
\item Les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ se coupent en P. Calculer les coordonnées de P.

Que représentent les coordonnées de ce point P ? 
\item La droite $\left(D_2\right)$ coupe l'axe des abscisses en Q.

Lire l'abscisse de Q.

Que représente ce nombre ?
\end{enumerate}
\end{document}