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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Nancy-Metz}
\lfoot{\small septembre 1988}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy-Metz\footnote{Besançon} septembre 1988 \decofourright}}\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités à dominante numérique}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On désire encadrer une gravure.

Pour cela, on place d'abord un cache en carton puis une baguette de bois.

Le dessin  suivant représente la gravure ABCD dont les dimensions sont $18$ et $24$ centimètres, le cache en carton est la partie grisée, la baguette est le rectangle EFGH.

Les dimensions du cache sont données sur la figure ($x$ est exprimé en cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer, en fonction de $x$, les dimensions EF et FG en centimètres.
\item Calculer en fonction de $x$, le périmètre $P(x)$ du cadre EFGH.

On achète la baguette par morceaux de 1,5~m, mais compte tenu des chutes à chaque coupe. on dispose de 142~cm de baguette.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.6,7.7)
%\psgrid
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.3,0.3)(5.2,7.1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.3,2.3)(4.2,6.1)
\uput[dr](1.3,6.1){A} \uput[dl](4.2,6.1){B} \uput[ul](4.2,2.3){C} \uput[ur](1.3,2.3){D}
\uput[ul](0.3,7.1){E} \uput[ur](5.2,7.1){F} \uput[dr](5.2,0.3){G} \uput[dl](0.3,0.3){H}
\psline{<->}(0.3,3.7)(1.3,3.7)\psline{<->}(4.2,3.7)(5.2,3.7)\uput[d](0.8,3.7){$x$}\uput[d](4.7,3.7){$x$}
\psline{<->}(2.7,7.1)(2.7,6.1)\psline{<->}(2.7,2.3)(2.7,0.3)\uput[r](2.7,6.6){$x$}\uput[r](2.7,1.3){$1,5x$}
\end{pspicture}
\end{center}

Quelle est la plus grande valeur possible de $x$ ?

Quelle est la plus grande valeur entière que l'on peut donner à $x$ ?
\item Exprimer, en fonction de $x$, l'aire en cm? de la partie grise. (On mettra le résultat sous forme d'une somme réduite et ordonnée en $x$.)
\item Soit $f(x) = 5x^2 + 93x$.

Calculer la valeur exacte de $f\left(\dfrac{10}{3}\right)$ puis en donner une valeur approchée.

Calculer la valeur exacte de $f\left(3\sqrt 3- 1\right)$.

On en donnera une valeur approchée soit en prenant $\sqrt 3 \approx 1,7$, soit en utilisant une calculatrice.

\small{\emph{Rem.} On peut échanger la 2\up{e} et la 3\up{e} question. La 4\up{e} question peut être traitée indépendamment des précédentes.}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités à dominante géométrique}

\medskip

On donne la figure ci-dessous.

Les points A, C et D sont alignés et AC $= 8$~cm.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.4,3)
\pspolygon(0.3,0.3)(2.3,2.6)(6,1.9)%ABD
\psline(2.3,2.6)(3.6,1.2)%BC
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[u](2.3,2.6){B} \uput[dr](3.6,1.2){C} \uput[r](6,1.9){D}
\rput{-136}(2.3,2.6){\psframe(0.2,0.2)}
\psarc(0.3,0.3){0.4}{18}{48}\psarc(6,1.9){0.4}{168}{198}
\rput(0.95,0.7){\small $30\degres$}\rput(5.2,1.85){\small $30\degres$}
\end{pspicture}
\end{center}

\emph{Les questions $1. 2.$ et $3.$ sont indépendantes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer en degrés les angles $\widehat{\text{ACB}},\: \widehat{\text{BCD}}$ et $\widehat{\text{CBD}}$.
		\item Donner la nature du triangle BCD.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire le triangle ABC aux vraies mesures.
		
On indiquera très brièvement les différentes étapes de la construction.

Construire le point E symétrique de C par rapport au point B.
		\item Donner la nature du triangle ACE.
		
En déduire la distance CE.

Calculer la distance AB.
	\end{enumerate}
\item On donne un triangle équilatéral ACE dont les côtés mesurent $8$~cm et soit [AB] la hauteur issue de A.

On considère le point N défini par la relation $\vect{\text{AN}} = \dfrac25 \vect{\text{AB}}$.

(On pourra placer le point N à l'aide d'une règle graduée.)

La droite $\Delta$ passant par N et parallèle à la droite (CE) coupe
la droite (AC) en M et la droite (AE) en P{}.

Calculer la distance AM.

Quelle est la distance AP ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Un automobiliste part de Nancy à 14 h et se dirige vers Lyon en empruntant l'autoroute.
Le graphique ci-après donne la distance parcourue en fonction du temps.

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2,-2)(18,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt](17,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(18,9)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,0)(4.5,3)(5.5,3)(7,4)(8.5,3)(9,3)(16.5,8)
\uput[d](0,0){\footnotesize 0 min}\uput[d](3,0){\footnotesize 60 min}\uput[d](6,0){\footnotesize 120 min}\uput[d](9,0){\footnotesize 180 min}\uput[d](15.5,0){\footnotesize Durée (en min)}
\uput[d](0,-0.5){\footnotesize 14 h}\uput[d](3,-0.5){\footnotesize 15 h}
\uput[l](0,0){\footnotesize 0 km}\uput[l](0,2){\footnotesize 100 km}\uput[l](-1,8){\footnotesize Lyon}
\uput[l](-1,0){\footnotesize Nancy}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Pour toute cette partie, répondre aux questions par simple lecture du graphique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la distance Nancy--Lyon ?

À quelle heure l'automobiliste arrive-t-il à Lyon ?
\item À quelle distance de Nancy se trouve-t-il au bout d'une heure et demie de route ?
\item À quelle heure se trouve-t-il à 300 km de Nancy ?
\item Combien de fois l'automobiliste s'est-il arrêté ?

Pendant combien de temps s'est-il arrêté en tout ?
	
À quelle distance de Nancy était-il ?

Que s'est-il passé entre 15~h~50~min et 16~h~50~min ?

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Un second automobiliste part de Lyon à 15 h et roule en direction de Nancy, à la vitesse moyenne de $100$~km/h.

Au bout de 2~h~30~min de trajet, il s'arrête $30$~min et reprend la route à la même vitesse moyenne.
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau ci-après.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{10}{>{\footnotesize\centering \arraybackslash}X|}}\hline
								&15 h& 15 h 30& 16 h&16 h 30& 17 h& 17 h 30& 18 h& 18 h 30& 19 h& 19 h 30\\ \hline
\footnotesize Durée du trajet 	&0	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\footnotesize Distance parcourue depuis Lyon (en
km) 	&0	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\footnotesize Distance restant à parcourir jusqu'à Nancy (en km) &400	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Sur le même graphique que précédemment, tracer la représentation graphique de la distance restant à parcourir par le second automobiliste en fonction du temps écoulé depuis 14 heures (l'origine des temps).
		\item Sur le graphique, lire à quelle heure et quelle distance de Nancy les deux véhicules se croisent.
		\item On considère les points A (180~;~150) ; B (330~;~400) ; C(60~;~400) et D(210~;~150).
			\begin{enumerate}
				\item Déterminer une équation de chacune des droites (AB) et (CD).
				\item Calculer les coordonnées du point d'intersection de ces
deux droites.
			\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}