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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Nancy--Metz}
\lfoot{\small juin 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy--Metz juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par
\[\begin{array}{l l c l}
f:&\R&\to& \R,\\
& x&\longmapsto&3x - 1.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Tableau de variation de $f$ et représentation graphique dans un repère \Oij.
\item Soit $g$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par 
\[\begin{array}{l l c l}
g :&\R&\to& \R,\\
& x&\longmapsto&x^2-9.
\end{array}\]

Déterminer l'application composée $g \circ f$ ($g$ rond $f$). 

Donner $g \circ f(x)$ sous forme d'un polynôme réduit et ordonné.

Calculer $g \circ f\left(\dfrac43\right)$.
\item Donner la forme factorisée de $g \circ f(x)$.

 Montrer que

\[g \circ f(x) = (3x - 4)(3x + 2).\]

Employer la forme développée ou la forme factorisée de $g \circ f(x)$ pour déterminer
	\begin{enumerate}
		\item les antécédents par $g \circ f$ s'ils existent, du réel $0$,
		\item les antécédents par $g \circ f$ s'ils existent, du réel $- 9$.
	\end{enumerate}
\item On considère les fonctions $q$ et $h$ de $\R$ vers $\R$ définies par
\begin{center}$q(x) = \dfrac{9x^2 + 12x + 4}{9x^2 - 6x - 8}$\quad et \quad $h(x)= \dfrac{3x +2}{3x - 4}$\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Comparer $q$ et $h$.
		\item Calculer $q\left(\sqrt 2\right)$.
		\item Calculer la valeur approchée par défaut à $10^{-2}$ près de $13 + 9\sqrt 2$ sachant que $1,4142 < \sqrt 2 < 1,4143$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans un repère orthonormé \Oij{} du plan
euclidien $(P)$, on donne les points 

\begin{center} A$(- 3~;~3)$\qquad  et \qquad B(5~;~9).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Tracer le cercle $(\mathcal{C})$ de diamètre [AB].

Calculer les coordonnées du centre I de ce cercle $(\mathcal{C})$.
\item Soit le point E(4~;~2) ; montrer que ce point E appartient au cercle $(\mathcal{C})$.

On construit le point F symétrique du point E par rapport à la droite (AB).

Montrer que les points E, I et F sont alignés. 

En déduire que (A, E, B, F) est un carré.
\item Le point M est le milieu de [AE].

Calculer $\tan \widehat{\text{EBM}}$ et à l'aide d'une table des valeurs trigonométriques déterminer au degré près l'écart angulaire de $\widehat{\text{EBM}}$.

En déduire un encadrement au degré près de l'écart
angulaire de $\widehat{\text{ABM}}$.
\end{enumerate}
\end{document}