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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Nancy-Metz}
\lfoot{\small juin 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy-Metz juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On considère les fonctions polynômes $f$ et $g$ définies, dans $\R$ par
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=&(2x +5)(x + 3) + (3x -1)(2x +5)- (2x +5)^2,\\
g(x)&=&9x^2 - 6x + 1 - (x + 2)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme de polynômes réduits et ordonnés suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser le polynôme $9x^2 - 6x + 1$.
		\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme de produits de polynômes du premier degré en $x$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction rationnelle $q$ définie par
	\[q(x) =\dfrac{f(x)}{g(x)}.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition, $\mathcal{D}$, de cette fonction rationnelle.
		\item Montrer que, pour tout élément $x$ de $\mathcal{D}$,, on peut écrire
 \[q(x)= \dfrac{2x + 5}{4x + 1}\]

		\item Calculer $q\left(- \dfrac52\right)$ et $q\left(\sqrt 2\right)$. 
		
On indiquera la valeur approchée par défaut à $10^{-2}$ près de $q\left(\sqrt 2\right)$ ; on donne $1,414 < \sqrt 2 < 1,415$.
	\end{enumerate}
\item Représenter, graphiquement, en utilisant un même repère orthonormé les fonctions $h_1$ et $h_2$ définies par
\[\begin{array}{l c l}
h_1(x)&=&2x + 5,\\
h_2(x)&=&4x + 1.
\end{array}\]

Utiliser le graphique pour résoudre l'équation
\[q(x) = 1.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un repère orthonormé \Oij, on considère le quadrillage régulier du carré Ostu
comme l'indique la figure ci-dessous :

\begin{center}

\psset{unit=6mm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](0,0)(8,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=12,Dy=12](0,0)(0,0)(10,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[l](0,8){u}\uput[ur](8,8){t} \uput[d](8,0){s}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire ce schéma en prenant le centimètre comme unité et représenter les
points,

\begin{center}A$_1$(1~;~0), \quad B$_1$(8~;~1), \quad  C$_1$(7~;~8),\quad  D$_1$(0~;~7).\end{center}

		\item Prouver que A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$ est un parallélogramme dont on déterminera les coordonnées du centre K.
		\item Comparer les distances A$_1$B$_1$ et A$_1$D$_1$.
		\item Prouver que les vecteurs $\vect{\text{A}_1\text{B}_1}$ et $\vect{\text{A}_1\text{D}_1}$, sont orthogonaux.
		
Quelle est la nature du quadruplet A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$ ?
	\end{enumerate}
\item Chercher une équation de la médiatrice de $\left[\text{A}_1\text{B}_1\right]$.
\item Soit $n$ un entier naturel tel que $0 < n < 8$. 

On considère les points 

\begin{center}A$_n(n~;~0)$, \quad B$_n(8~;~n)$, \quad  C$_n(8 - n~;~8)$, \quad  D$_n(0~;~8 - n)$\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Indiquer sur le schéma les quadruplets A$_2$B$_2$C$_2$D$_2$ et A$_3$B$_3$C$_3$D$_3$.
		\item Prouver que A$_n$B$_n$C$_n$D$_n$ est un carré de centre K.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}