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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1982}
\rfoot{\small Nancy-Metz}
\lfoot{\small juin 1982}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy-Metz juin 1982 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies, de $\R$
dans $\R$ par

\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=&(7x + 2)^2- (5x + 1)^2\\
g(x) &=& 12x(1 - 2x)+3(1-2x).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser les expressions $f(x)$ et $g(x)$.
\item Résoudre, dans $\R$ l'équation $g(x) = 0$.
\item Prouver que. pour tout nombre réel autre que $\dfrac12$ et $- \dfrac14$.

\[P(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{1 + 2x}{1 - 2x}\]

\item Calculer $P\left(\dfrac13\right), \: P\left(\dfrac{1}{18}\right)$.
\item Prouver que $\sqrt{P\left(\dfrac13\right)} \times  \sqrt{P\left(\dfrac{1}{18}\right)}$ est un nombre décimal.
\item Construire dans le plan rapporté à un repère
orthonormé \Oij les représentations graphiques des fonctions affines définies de $\R$ dans $\R$ par

\[u : x \longmapsto - 2x +1 \quad;\quad v : x \longmapsto  2x + 1.\]

Trouver graphiquement et par le calcul la valeur
réelle de $x$ telle que $P(x) = 1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie, de $\R$ dans
$\R$  par

\[f(x) = \sqrt{10 \sqrt x - 25}.\]

Déterminer, si elles existent et à l'aide de table numériques, les images par $f$ des nombres

\[x =5,76\:;\quad x = \np{4225}\:;\quad x = 625\:;\quad x = (-565)^2.\]

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij.

On place les points

\begin{center}A(3~;~4),\quad B(1~;~6),\quad C(1~;~0) \quad et \quad D$(- 1~;~0)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AD}}$ sont orthogonaux.
\item Calculer les distances DA, AB et DB et préciser la nature du triangle (A, B, D).
\item Déterminer les coordonnées du centre I du cercle circonscrit au triangle (D, A, B) et calculer le rayon $R$ de ce cercle.

Montrer que C appartient à ce cercle.
\item Déterminer les coordonnées du point A$'$ symétrique de A par rapport à I. 

Donner alors la nature du quadrilatère (A, B, A$'$, D).
\item La droite (AI) coupe l'axe des abscisses en E.

Déterminer la mesure du segment [DE].
\end{enumerate}
\end{document}