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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Nancy}
\lfoot{\small juin 1983}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier l'écriture de 

\[A = \sqrt{96} + 2\sqrt 6 - 2\sqrt{24} - 3\sqrt{54}.\]

\item $a = 4\sqrt 3 - 1 \:;\: b = 5 - 2\sqrt 3$.

Calculer $B = \dfrac ab$. 

Écrire $B$ sous la forme d'un quotient dont le dénominateur est un entier.
\item Sachant que  $1,732< \sqrt 3 < 1,733$, déterminer un encadrement à $10^{-2}$ près de 

$C = - \dfrac{5\sqrt 3}{3}$.
\item $f$ et $g$ sont deux fonctions numériques définies par

\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(2x - 4)(3x + 1)-(x -2)^2\\
g(x)&=&25x^2 - 16 - (5x +4)(3x -5).
\end{array}\]

	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.
		\item Soit $h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$.

Déterminer l'ensemble de définition de $h$ ; puis simplifier $h(x)$.

On appelle $h'(x)$ la forme simplifiée de $h(x)$.
		\item Résoudre, dans $\R$, les équations

\begin{center}$h'(x) = 0$\qquad et \qquad $h'(x) = 1$.\end{center}

		\item Représenter graphiquement, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, les droites $D$ et $D'$ qui ont pour équations

\begin{center}$x - y - 2 = 0$ \quad et \quad $2x - y + 1= 0$.\end{center}

Que constate-t-on ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

On donne, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, les points

\begin{center}A$(-2~;~-3)$,\qquad B$(-1~;~-3)$\quad et \quad C$(4~;~-2)$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point D tel que ABDC soit un parallélogramme.
\item Calculer les distances AB et AC. 

En déduire la nature précise du quadrilatère ABDC.
\item Calculer les coordonnées du milieu M de [B, C].

Quel est le symétrique de A dans la symétrie de centre M ?
\item Soit H$(-4~;~-5)$.

Montrer que les points A, D et H sont alignés. 

(On fera une figure soignée.)
\end{enumerate}
\end{document}