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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nancy juin 1951~\decofourright}}}

\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Deux amis habitent l'un la ville A, l'autre la ville B distantes de 150 km.

Ils se donnent rendez-vous en un point M de la route en ligne droite [AB], situé entre A et B et tel que AM $= x, \: x$ étant mesuré en km.

Ils doivent s'y rendre en automobile.

La voiture du premier, qui habite A, consomme 8~l aux 100 km et celle du deuxième 12~l aux $100$~km.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ les quantités $y_1$ et $y_2$ d'essence nécessaires pour se rendre en M pour chacun des deux automobilistes.
\item Étudier les variations des deux fonctions $y_1$ et $y_2$ et tracer le graphique qui les représente.

(Sur l'axe $x'x$ on représentera 1 cm pour $15$~km et sur l'axe $y'y$,  2~l seront représentés par 1 cm.)
\item Comment doit-on choisir le point M, pour que les quantités d'essence nécessaires à chacun des deux amis soient égales ?

Vérifier sur le graphique la solution trouvée par le calcul.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Les hauteurs [BB$'$] et [CC$'$] d'un triangle ABC se coupent en H.

La droite (B$'$C$'$) coupe le cercle circonscrit $(\mathcal{C})$ en M et N et (AH) coupe (BC) en A$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire du quadrilatère BC$'$B$'$C et pourquoi ?
\item Démontrer que les angles $\widehat{\text{AC}'\text{B}'}$ et $\widehat{\text{ACB}}$ sont égaux.
\item Démontrer que (B$'$C$'$) est parallèle à la tangente en A au cercle $(\mathcal{C})$.
\item En déduire que le triangle AMN est isocèle.
\item Comparer les triangles AMC$'$ et ABM et démontrer que l'on a
\begin{center}$\overline{\text{AM}}^2  =$ AC$' \cdot$ AB = AH $\cdot$ AA$'$.\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}