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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Nancy}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Nancy juin 1954}}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre l'expression suivante:
\[E = \left(\dfrac13 x + 3 \right)^2 - \left(\dfrac53 x + 2 \right)^2.\]

sous forme d'un produit de deux facteurs, $y_1$, et $y_2$.

Pour quelles valeurs de $x$ ce produit s'annule-t-il ?
\item Développer l'expression $E$, la mettre sous la forme d'un polynôme ordonné.

Vérifier que, pour les valeurs de $x$ trouvées au 1., ce polynôme est nul.
\item $y_1$, et $y_2$ sont deux fonctions de $x$ que l'on représentera graphiquement dans le même système d'axes (unité: 1 cm sur chaque axe).

Déterminer les coordonnées du point A d'intersection des droites $D_1$ et $D_2$ obtenues graphiquement et par le calcul.
\item Déterminer l'équation de (OA).

Par un point M de (OA), d'abscisse $6a$ ($a$, longueur donnée) on mène les parallèles à $D_1$ et  à $D_2$.

Trouver les équations de ces nouvelles droites.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient un triangle ABC, rectangle en A, [AH] la hauteur et [AM] la médiane relatives à l'hypoténuse.

Le cercle de centre H, de rayon HA, recoupe la droite (AB) au point D et la droite (AC) au point E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que D, H, E sont alignés et que les triangles ADE et ABC sont semblables.
\item Montrer que (AM) est perpendiculaire à (DE) et que les points D, B, C, E sont sur un cercle $\mathcal{C}$ de centre O.
\item Quelle est la nature du quadrilatère AMOH ? 

Calculer le rapport des aires des triangles ODE et ABC.
\item On suppose en outre que $\widehat{\text{C}} = 30\degres$.

On pose BC $= 2a$ ($a$ étant une longueur donnée).

Nature du triangle AHE ?

Calculer BE en fonction de $a$ ; en déduire le rayon du cercle $\mathcal{C}$ en fonction de $a$.
\end{enumerate}


\end{document}