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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Nancy}}
\rfoot{\small{juin 1956}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Nancy juin 1956}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère le système d'équations

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{2}x + 2y - a &=&0,\\
2x + 3y - 9&=&0,
\end{array}\right.\]
$x$ et $y$ désignant les inconnues et $a$ un nombre algébrique donné.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre ce système.
\item Entre quelles limites doit être compris le nombre
$a$ pour que les solutions $x$ et $y$ trouvées soient toutes deux positives ?

Est-il possible de trouver une valeur de $a$ pour que $x$ et $y$ soient toutes deux négatives ?
\item On donne au nombre $a$ la valeur $+ 5$.

Résoudre graphiquement le système.

Peut-on vérifier la solution trouvée ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un demi-cercle de centre O et de diamètre [AD] tel que AD $= 2 R$.

On construit la corde [AB] tel que AB $= R$, puis l'angle $\widehat{\text{BOC}} = 90\degres$, les points A, B, C, D étant situés dans cet ordre sur le demi-cercle.

Les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent en I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $R$, BC et BD.
\item Démontrer que les triangles ABI et ICD sont isocèles et en déduire la longueur des segments [BI], [ID] et [CD].

Calculer le rapport des aires de ces deux triangles.
\end{enumerate}
\end{document}