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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Nancy}}
\rfoot{\small{juin 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Nancy juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit l'expession

\[E = (4 - 3x) (1 - x) - \left(16 - 9x^2\right) + (6x - 2) (4 - 3x).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre cette expression sous la forme :
	\begin{enumerate}
		\item d'un produit de facteurs du premier degré ; 
		\item d'un polynôme réduit et ordonné.
	\end{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $E = 0$.
\item Construire sur un même graphique les courbes représentatives des fonctions 
\begin{center}$y = 4 - 3x$\qquad  et \qquad $y =  2x -  1$ \end{center}
(unité sur chaque axe :1~cm).

Les droite, obtenues coupent l'axe $x'x$ en A et B et se coupent en C.

Calculer les coordonnées des points A, B et C, puis  l'aire du triangle ABC en millimètres carrés.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Sur la bissectrice d'un angle $\widehat{x\text{A}y} = 60\degres$ on marque le point O tel que OA $= 2a$,\: $a$ désignant une longueur donnée.

On désigne par H et K les projections de O respectivement sur
A$x$ et A$y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer la longueur des segments [OH] et [AH].
\item Un cercle de centre O coupe A$x$ en B et C (B entre A et H) et A$y$ en D et E (D entre A et K).

Démontrer l'égalité des triangles OBH et ODK, des longueurs des segments [BC] et [DE], puis des triangles OBC et ODE.
\item Démontrer que le quadrilatère ACOD est inscriptible dans un cercle dont on désignera le centre par I.
\item Sur quelle ligne fixe se déplace le point I lorsque le rayon du cercle de centre O varie ?
\end{enumerate}
\end{document}