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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nancy juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

Soit un triangle ABC tel que  BC $= 6$ cm, AC $= 5$ cm, AB $= b$ ($b$ est une longueur, en centimètres).

On considère un point M sur le segment [BC], tel que BM $= x$.

On mène par M les parallèles à (AC) et (AB), qui coupent respectivement (AB) en P et (AC) en Q.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $x$ et de $b$, les longueurs PM et MQ.
\item Calculer le demi-périmètre $y$ du quadrilatère PMQA.

On trouvera 
\[y= \dfrac{(5 - b)x}{ 6}   + b.\]
\item Étudier les variations de $y$ quand M décrit [BC], dans les deux cas suivants:

\[b = 4,\qquad  b = 7.\]

 Indiquer, dans chaque cas, si la fonction est croissante ou décroissante.
 
 Représentation graphique.

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un demi-cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB $= 9$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le point C sur le segment [AB] et le point D sur le prolongement de [AB] tels que $\dfrac{\text{CA}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{DA}}{\text{DB}} = \dfrac27$.

Calculer CA et DA.
\item On trace le demi-cercle de diamètre [DC], de centre O$'$, qui coupe le demi-cercle de diamètre [AB] en M.

Calculer le rayon du cercle (O$'$).
\item H étant la projection orthogonale de M sur (AB), démontrer la relation 
\begin{center}HC $\times$ HO = HA $\times$ HB.\end{center}
\item Démontrer que le triangle OMO$'$ est rectangle.

Que peut-on en déduire pour les positions des droites (OM) et (O$'$M) par rapport aux deux demi-cercles ?
\end{enumerate}
\end{document}