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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nancy juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'expression
\[E(x) = \dfrac{3x^2 - 4}{4 - x^2} + \dfrac{4}{2 - x} - \dfrac{2}{2 + x}\]

et, sous une réserve à préciser, montrer que, toutes simplifications effectuées, elle peut se mettre sous la
forme 
\[E(x) = \frac{3x}{2 - x}.\]
\item On pose $Y = 3x$ et $y = 2 - x$.

Tracer sur un même graphique les droites qui représentent $Y$ et $y$, l'unité de longueur imposée sur les deux axes étant 2 cm.

Calculer les coordonnées du point d'intersection, A, de ces droites et vérifier les résultats sur le graphique.\item On trace, par rapport aux mêmes axes, la droite
représentative de la fonction $Z =  - \dfrac13 x$.

Cette droite $(L)$ coupe en B la droite d'équation $y = 2 - x$.

Calculer les coordonnées du point B.

Montrer que le triangle AOB est rectangle en O ; calculer les longueurs de ses côtés en centimètres et son aire en centimètres carrés.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un triangle équilatéral ABC de côté $a$.

Par un point M de [BC] on mène les perpendiculaires [MH] sur (AB) et [MK] sur (AC). 
(M est entre B et C.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le quadrilatère AHMK est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre. 

Ce cercle recoupe la droite (BC) en un point D.

Quelle est la position de D sur [BC] ?
\item On pose BM $= x$.

Calculer en fonction de $a$ et de $x$ les longueurs MH, MK, AH, AK et le périmètre du quadrilatère convexe MHAK.

Ce périmètre dépend-il de la position du point M sur BC ?
\item Dans ce qui suit, on suppose $a = $4 cm.

On projette orthogonalement, sur (BC), H et K, en E et F.

Calculer EF. La longueur de [EF] dépend-elle de la position de M sur BC ?
\item Déterminer $x$ pour que $\widehat{\text{BAM}} = \dfrac{\widehat{\text{BAC}}}{4}$.

En déduire la valeur de $tan 15\degres$.
\end{enumerate}
\end{document}