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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Nancy juin 1965~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

Soit l'expression
\[A(x) = (3x + 2)(x - 4) + (- 2 - 3x)(x + 5) + \left(9x^2 -4\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $A(x)$ sous forme d'un produit de deux binômes du premier degré.

On obtient ainsi $B(x)$.
\item Effectuer les opérations indiquées dans $A(x)$. On obtient $C(x)$.
\item Résoudre l'équation
\[(3x + 2)(x - 4) + \left(9x^2 -4\right) + (- 2 - 3x)(x + 5) = 0.\]

\item Calculer la valeur numérique de $A(x)$ pour 
\[x = 1,\qquad  x = - \dfrac23, \qquad x = \sqrt 3.\]

Indiquer, à chaque fois, la forme utilisée, $A(x), B(x)$ ou $C(x)$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC, rectangle en A, tel 
que BC $= 80$~mm et AB $= 18$~mm.

Calculer AC.
\item Soit un point P de (BC) tel que $\dfrac{\text{BP}}{\text{BC}} = \dfrac58$.

Calculer BP et PC,
\item La perpendiculaire à (BC) en P coupe (AC) en D et (BA) en E.

Montrer que les quadrilatères ABPD et ACPE sont inscriptibles dans des cercles, dont on déterminera le centre.
\item Montrer la similitude des triangles PDC et ABC.

Quel est le rapport de similitude ?

Calculer les longueurs DC, PD et AD.
\item Montrer la similitude des triangles EPB et CPD et calculer leur rapport de similitude.
\end{enumerate}
\end{document}