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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Nancy}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Nancy juin 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en un produit de facteurs l'expression
\[E(x) = (3x- 4)\left(\dfrac13 x + 8\right)x - \left(\dfrac13 x - 1\right)^2(3x - 4).\]

\item Résoudre l'équation $E(x) = 0$.
\item Montrer que la fraction rationnelle

\[F(x) = \dfrac{(3x- 4)\left(\dfrac13 x + 8\right)x - \left(\dfrac13 x - 1\right)^2(3x - 4)}{9\left(49 - \dfrac49 x^2\right)}\]

est égale à $\dfrac{3x - 4}{7 - \dfrac23 x}$ pour certaines valeurs de $x$, que l'on précisera.
\item  Pour quelles valeurs de $x$ les termes de la fraction $\dfrac{3x - 4}{7 - \dfrac23 x}$  sont-ils tous deux positifs ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un carré ABCD de $12$~cm de côté, O le milieu du côté [AB].

On trace le cercle de diamètre [AB] et l'on appelle I le point de contact de la tangente au cercle, autre que (CB), issue de C.

La droite (CI) coupe le côté [AD] en E et la droite OI le coupe en J.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que CE = CB + EA.
\item Comparer les triangles CIJ et CDJ.

Quelle est, en degrés, la mesure de l'angle $\widehat{\text{OCJ}}$ ?
\item Calculer les périmètres des triangles EIJ et EDC.
\item Démontrer que les triangles EIJ et EDC sont semblables.

Calculer le rapport de similitude de ces triangles.

Calculer IJ, DJ et JA.
\item Démontrer que JI $\times$ JO = JA $\times$ JE.

Calculer JE et EA.
\end{enumerate}
\end{document}